Uma superfície cúbica está localizado numa região de campo elétrico com um vértice na origem de um sistema de coordenadas x, y, z. As arestas do cubo têm 1,0 \mathrm{~m} de comprimento. O campo elétrico é uniforme, paralelo ao plano x, y e tem o sentido positivo do eixo y. A intensidade do campo é 1000 \mathrm{~N} / \mathrm{C}.
(a) Determine o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces do cubo.
(b) Determine o fluxo elétrico total.
(c) Existe carga dentro da superfície?

Passo 1

O enunciado dá um cubo com um vértice na origem do sistema de coordenadas x,y,z. As arestas do cubo têm comprimento 1,0\\ \mathrm{m}. O campo elétrico é uniforme, paralelo ao plano x,y e aponta no sentido positivo do eixo y. A intensidade do campo é E=1000\\ \mathrm{N/C}.
Vou tomar a orientação natural: as arestas do cubo estão alinhadas com os eixos coordenados, de modo que o cubo ocupa a região
0\le x\le1,0,\qquad 0\le y\le1,0,\qquad 0\le z\le1,0.
As seis faces então estão em x=0, x=1,0, y=0, y=1,0, z=0 e z=1,0. Perguntas do enunciado:
(a) determinar o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces;
(b) determinar o fluxo elétrico total através da superfície fechada;
(c) existe carga dentro da superfície?

Passo 2

Conceito que vamos usar: fluxo elétrico através de uma superfície é a integral de superfície do produto escalar entre o campo e o elemento de área:
\Phi=\iint \vec E\cdot d\vec A.
Aqui d\vec A é o vetor área: sua direção é a normal à face (para superfícies fechadas escolhe-se a normal apontando para fora do volume) e seu módulo é a área elementar. Para uma face plana e campo uniforme, a integral reduz-se ao produto escalar
\Phi=\vec E\cdot\vec A,
onde \vec A é o vetor área da face (módulo igual à área da face, direção igual à normal externa). O produto escalar \vec E\cdot\vec A mede a componente do campo que atravessa a face: se o campo for perpendicular à face o fluxo é EA; se for paralelo à face o fluxo é 0; se o campo tiver sentido oposto à normal, o fluxo é negativo.

Passo 3

Área de cada face: as faces são quadrados de lado 1,0\\ \mathrm{m}, então
A = 1,0\times1,0 = 1,0\\ \mathrm{m^2}.
O campo uniforme pode ser escrito como
\vec E = E\,\hat y = 1000\,\hat y\\ \mathrm{N/C}.
As normais externas das faces são:
  • face x=0: -\hat x;
  • face x=1,0: +\hat x;
  • face y=0: -\hat y;
  • face y=1,0: +\hat y;
  • face z=0: -\hat z;
  • face z=1,0: +\hat z.

Passo 4

Fluxo através da face em y=1,0. O vetor área é \vec A_{y=1} = +\hat y\;A. Como \vec E está na direção +\hat y,
\Phi_{y=1}=\vec E\cdot\vec A_{y=1}=E\cdot A = 1000\cdot1,0 = 1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
Explicando devagar: o campo atravessa essa face no mesmo sentido da normal externa, então contribui positivamente para o fluxo.

Passo 5

Fluxo através da face em y=0. Agora \vec A_{y=0}=-\hat y\;A. Então
\Phi_{y=0}=\vec E\cdot\vec A_{y=0}=\vec E\cdot(-\hat y)A = -E\cdot A = -1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
Aqui o campo atravessa a face no sentido contrário à normal externa, dando fluxo negativo.

Passo 6

Fluxos através das faces perpendiculares a x e z. Nestas faces a normal é \pm\hat x ou \pm\hat z. Como \vec E está ao longo de \hat y, o produto escalar é zero:
\Phi_{x=0}=\Phi_{x=1}=\Phi_{z=0}=\Phi_{z=1}=0.
Isto é, o campo é paralelo a essas faces e não “passa” através delas.

Passo 7

Resumo dos seis fluxos (cada face):
  • x=0:\\ \Phi_{x=0}=0;
  • x=1,0:\\ \Phi_{x=1}=0;
  • y=0:\\ \Phi_{y=0}=-1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C};
  • y=1,0:\\ \Phi_{y=1}=+1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C};
  • z=0:\\ \Phi_{z=0}=0;
  • z=1,0:\\ \Phi_{z=1}=0.

Passo 8

Fluxo total através da superfície fechada é a soma dos fluxos das seis faces:
\Phi_{\text{total}}=\sum \Phi_{\text{faces}} = 1000 + (-1000) + 0 + 0 + 0 + 0 = 0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 9

Sobre a existência de carga dentro da superfície: pela lei de Gauss,
\Phi_{\text{total}}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total encerrada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Como \Phi_{\text{total}}=0, segue que
Q_{\text{int}}=\varepsilon_0\Phi_{\text{total}}= \varepsilon_0\cdot0 = 0.
Interpretação física importante (não deixe passar): isso significa que a carga líquida (o somatório algébrico de cargas positivas e negativas) dentro do cubo é zero. Não se pode afirmar estritamente que absolutamente não existe nenhuma carga localizada no interior — poderia haver cargas positivas e negativas que se cancelam e dão Q_{\text{int}}=0. O que se garante é que a carga total líquida é zero.

Resposta

(a) Faces x=0:\\\ 0; x=1,0:\\\ 0; y=0:\\\ -1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}; y=1,0:\\\ +1000\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}; z=0:\\\ 0; z=1,0:\\\ 0.
(b) \Phi_{\text{total}}=0\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
(c) A carga líquida dentro da superfície é Q_{\text{int}}=0. (Pode haver cargas internas que se anulem; o que se garante é que a carga total é zero.)

Exercícios relacionados