Uma superfície cúbica está localizado numa região de campo elétrico com um vértice na origem de um sistema de coordenadas
. As arestas do cubo têm
de comprimento. O campo elétrico é uniforme, paralelo ao plano
e tem o sentido positivo do eixo
. A intensidade do campo é
.
(a) Determine o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces do cubo.
(b) Determine o fluxo elétrico total.
(c) Existe carga dentro da superfície?
(a) Determine o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces do cubo.
(b) Determine o fluxo elétrico total.
(c) Existe carga dentro da superfície?
Passo 1
O enunciado dá um cubo com um vértice na origem do sistema de coordenadas
. As arestas do cubo têm comprimento
. O campo elétrico é uniforme, paralelo ao plano
e aponta no sentido positivo do eixo
. A intensidade do campo é
.
Vou tomar a orientação natural: as arestas do cubo estão alinhadas com os eixos coordenados, de modo que o cubo ocupa a região
As seis faces então estão em
,
,
,
,
e
. Perguntas do enunciado:
(a) determinar o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces;
(b) determinar o fluxo elétrico total através da superfície fechada;
(c) existe carga dentro da superfície?
(a) determinar o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces;
(b) determinar o fluxo elétrico total através da superfície fechada;
(c) existe carga dentro da superfície?
Passo 2
Conceito que vamos usar: fluxo elétrico através de uma superfície é a integral de superfície do produto escalar entre o campo e o elemento de área:
Aqui
é o vetor área: sua direção é a normal à face (para superfícies fechadas escolhe-se a normal apontando para fora do volume) e seu módulo é a área elementar. Para uma face plana e campo uniforme, a integral reduz-se ao produto escalar
onde
é o vetor área da face (módulo igual à área da face, direção igual à normal externa). O produto escalar
mede a componente do campo que atravessa a face: se o campo for perpendicular à face o fluxo é
; se for paralelo à face o fluxo é
; se o campo tiver sentido oposto à normal, o fluxo é negativo.
Passo 3
Área de cada face: as faces são quadrados de lado
, então
O campo uniforme pode ser escrito como
As normais externas das faces são:
- face
: ; - face
: ; - face
: ; - face
: ; - face
: ; - face
: .
Passo 4
Fluxo através da face em
. O vetor área é
. Como
está na direção
,
Explicando devagar: o campo atravessa essa face no mesmo sentido da normal externa, então contribui positivamente para o fluxo.
Passo 5
Fluxo através da face em
. Agora
. Então
Aqui o campo atravessa a face no sentido contrário à normal externa, dando fluxo negativo.
Passo 6
Fluxos através das faces perpendiculares a
e
. Nestas faces a normal é
ou
. Como
está ao longo de
, o produto escalar é zero:
Isto é, o campo é paralelo a essas faces e não “passa” através delas.
Passo 7
Resumo dos seis fluxos (cada face):
-
; -
; -
; -
; -
; -
.
Passo 8
Fluxo total através da superfície fechada é a soma dos fluxos das seis faces:
Passo 9
Sobre a existência de carga dentro da superfície: pela lei de Gauss,
onde
é a carga total encerrada e
é a permissividade do vácuo. Como
, segue que
Interpretação física importante (não deixe passar): isso significa que a carga líquida (o somatório algébrico de cargas positivas e negativas) dentro do cubo é zero. Não se pode afirmar estritamente que absolutamente não existe nenhuma carga localizada no interior — poderia haver cargas positivas e negativas que se cancelam e dão
. O que se garante é que a carga total líquida é zero.
Resposta
(a) Faces
;
;
;
;
;
.
(b) .
(c) A carga líquida dentro da superfície é . (Pode haver cargas internas que se anulem; o que se garante é que a carga total é zero.)
(b)
(c) A carga líquida dentro da superfície é