Uma motocicleta, em uma corrida de “arrancada”, parte do repouso e percorre 200 m com uma aceleração constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) A equação horária do movimento.
b) O tempo gasto para percorrer os 200 m .
c) A velocidade da motocicleta ao final do percurso.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações fornecidas:
  • A motocicleta parte do repouso: v_0=0.
  • A aceleração é constante e vale a=5\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O deslocamento total percorrido é s=200\\ \mathrm{m}.
  • Pressupõe-se que o movimento começa em t=0 e que a posição inicial é s_0=0.
Perguntas do enunciado:
a) Determinar a equação horária do movimento (posição em função do tempo; e também a velocidade em função do tempo se for útil).
b) Determinar o tempo gasto para percorrer os 200\\ \mathrm{m}.
c) Determinar a velocidade da motocicleta ao final do percurso.

Passo 2

Apresentar as fórmulas do movimento com aceleração constante e explicar cada símbolo (aulas rápidas: o que são essas fórmulas e por que valem).
Para movimento retilíneo com aceleração constante, as fórmulas básicas são:
s(t)=s_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
v(t)=v_0+a t.
Explicação das variáveis:
  • s(t) é a posição (deslocamento) em metros no instante t.
  • s_0 é a posição inicial (a posição em t=0), em metros.
  • v(t) é a velocidade em metros por segundo no instante t.
  • v_0 é a velocidade inicial (velocidade em t=0), em metros por segundo.
  • a é a aceleração constante, em metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^2}).
  • t é o tempo em segundos.
Por que essas fórmulas? Rápido intuitivo: a aceleração constante significa que a velocidade varia linearmente com o tempo (por isso v(t)=v_0+a t) e a posição é a integral da velocidade ao longo do tempo, o que gera o termo quadrático \tfrac{1}{2} a t^2. A constante \tfrac{1}{2} surge da integração de t.

Passo 3

Aplicar as fórmulas aos dados do problema para obter a equação horária.
Temos s_0=0 e v_0=0, logo a equação de posição fica
s(t)=0+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\,a\,t^2=\tfrac{1}{2} a t^2.
Substituindo a=5\\ \mathrm{m/s^2},
s(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 5\,t^2=2{,}5\,t^2\quad(\mathrm{m}).
A equação da velocidade, usando v(t)=v_0+a t com v_0=0, é
v(t)=a t=5\,t\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 4

Determinar o tempo gasto para percorrer os 200\\ \mathrm{m}. Montar a equação e resolver passo a passo.
Queremos t tal que s(t)=200\\ \mathrm{m}. Usando s(t)=2{,}5\,t^2,
2{,}5\,t^2=200.
Isolando t^2,
t^2=\frac{200}{2{,}5}.
Calcular a razão passo a passo: 2{,}5=\tfrac{5}{2}, então
\frac{200}{2{,}5}=\frac{200}{5/2}=200\cdot\frac{2}{5}=40\cdot 2=80.
Portanto
t^2=80.
Tomando a raiz quadrada (tempo é positivo),
t=\sqrt{80}= \sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}\approx 8{,}944\\ \mathrm{s}.
Observação rápida: costuma-se arredondar para 3 casas decimais em problemas desse tipo; mantive t\approx 8{,}944\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Determinar a velocidade final ao final do percurso. Fazer por duas formas (verificação).
Método 1 — usar v(t)=5\,t. Substituindo t\approx 8{,}944\\ \mathrm{s},
v=5\cdot 8{,}944\approx 44{,}721\\ \mathrm{m/s}.
Método 2 (verificação) — use a relação que não precisa do tempo:
v^2=v_0^2+2 a (s-s_0).
Como v_0=0 e s_0=0,
v^2=2 a s=2\cdot 5\cdot 200=2000.
Logo
v=\sqrt{2000}=\sqrt{4\cdot 500}=2\sqrt{500}\approx 44{,}721\\ \mathrm{m/s},
o mesmo resultado, o que confirma o cálculo.
Comentário sobre ordem de grandeza: 44{,}7\\ \mathrm{m/s} corresponde a cerca de 161\\ \mathrm{km/h} (multiplicando por 3{,}6), um valor alto mas possível em uma arrancada de motocicleta potente em 200\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo didático final e dicas para a prova (como fazer rápido):
  • Quando a moto parte do repouso e a aceleração for constante, memorizo que s(t)=s_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2 e v(t)=v_0+a t.
  • Para achar o tempo a partir do deslocamento, substituo s em s(t) e resolvo a equação quadrática. Se v_0=0 isso simplifica muito: t=\sqrt{\dfrac{2s}{a}}.
  • Para achar velocidade final sem calcular t, uso v=\sqrt{v_0^2+2 a (s-s_0)}, que é rápida e evita raízes desnecessárias.
  • Verifique unidades (m, s, m/s) e faça uma verificação rápida da ordem de grandeza para não cometer bobagem.

Resposta

a) s(t)=2{,}5\,t^2\\ \mathrm{(m)} e v(t)=5\,t\\ \mathrm{(m/s)}
b) t=4\sqrt{5}\approx 8{,}944\\ \mathrm{s}
c) v\approx 44{,}721\\ \mathrm{m/s}

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