Uma superfície esférica envolve completamente um conjunto de cargas. Determine o fluxo elétrico resultante se o conjunto for formado por:
duas cargas, uma de -3,2 \cdot 10^{-6} \mathrm{C} e outra de 4,8 \cdot 10^{-6} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o fluxo elétrico resultante através de uma superfície esférica que envolve completamente um conjunto formado por duas cargas pontuais. As informações fornecidas são:
  • Primeira carga: \,q_1 = -3,2\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Segunda carga: \,q_2 = 4,8\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}.
O que se deve entregar: o valor numérico do fluxo elétrico resultante através da superfície esférica que contém as duas cargas.

Passo 2

Qual é a relação que usamos para ligar carga elétrica total dentro de uma superfície ao fluxo? A relação fundamental é a lei integral que relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total contida internamente. Escrevendo isso de forma clara:
\Phi = \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície (unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}).
  • \oint \vec{E}\cdot d\vec{A} é a integral de superfície do campo elétrico sobre a superfície fechada.
  • Q_{\text{int}} é a soma algébrica (com sinais) de todas as cargas contidas dentro da superfície (unidade: \mathrm{C}).
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, cujo valor numérico usaremos como \varepsilon_0 = 8,854\cdot10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
Explicação didática rápida: essa fórmula diz que só importa a carga total dentro da superfície fechada; a forma da superfície e a posição relativa das cargas dentro dela não alteram o fluxo total. É por isso que, pra uma esfera que contém completamente as cargas, basta somar as cargas internas e dividir por \varepsilon_0.

Passo 3

Calcular a carga total encerrada pela esfera, somando as duas cargas dadas (lembre que somamos com sinal):
Q_{\text{int}} = q_1 + q_2 = -3,2\cdot10^{-6} + 4,8\cdot10^{-6}.
Fazendo a soma:
Q_{\text{int}} = (4,8 - 3,2)\cdot10^{-6} = 1,6\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Comentário amigável: o resultado é positivo porque a carga positiva é maior em módulo que a negativa; portanto o fluxo esperado será positivo (linhas de campo saindo da superfície, em média).

Passo 4

Agora aplicamos diretamente a fórmula do Passo 2 para obter o fluxo:
\Phi = \dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \dfrac{1,6\cdot10^{-6}}{8,854\cdot10^{-12}}.

Passo 5

Vamos calcular o quociente passo a passo (para você poder reproduzir sem calculadora, a ideia é separar a potência de 10):
\Phi = \dfrac{1,6}{8,854}\cdot10^{6}.
Calculando a razão \dfrac{1,6}{8,854}\approx 0,1807. Multiplicando por 10^{6}:
\Phi \approx 0,1807\cdot10^{6}=1,807\cdot10^{5}.
Arredondando de forma razoável (considerando algarismos significativos das cargas), podemos escrever:
\Phi \approx 1,81\cdot10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 6

Interpretação final curtinha e motivadora: o fluxo é positivo porque a carga total interna é positiva ( 1,6\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}). Note que esse valor independe do raio da esfera ou da posição das cargas dentro dela — desde que as cargas estejam completamente dentro — o que simplifica muito a vida na prova.

Resposta

\Phi \approx 1,81\cdot10^{5}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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