Uma superfície esférica envolve completamente um conjunto de cargas. Determine o fluxo elétrico resultante se o conjunto for formado por:
uma única carga de 4,8.10^{-6} \mathrm{C};

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fluxo elétrico resultante através de uma superfície esférica que envolve completamente um conjunto de cargas, quando esse conjunto é formado por uma única carga de 4{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Informações dadas:
  • A carga envolvida é q=4{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • A superfície é uma esfera fechada que envolve completamente a carga (não foi dado o raio da esfera).
  • Deve-se determinar o fluxo elétrico total através da superfície esférica.

Passo 2

O que é fluxo elétrico?
Definição: o fluxo elétrico através de uma superfície fechada S é
\Phi = \iint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{E} é o campo elétrico em cada ponto da superfície e d\mathbf{A} é o vetor área (magnitude igual à área infinitesimal e direção normal à superfície, orientado para fora). O produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} mede a componente do campo que atravessa aquela área.

Passo 3

Lei de Gauss (forma integral) — a ferramenta chave:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo total do campo elétrico através de qualquer superfície fechada S é igual à carga total interna q_{\text{int}} dividida pela permissividade do meio \varepsilon_{0}:
\Phi = \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \varepsilon_{0} (permitividade do vácuo) vale aproximadamente \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})} (unidades equivalentes: \mathrm{F/m}). Essa lei vale para qualquer superfície fechada, de qualquer forma, desde que se conte a carga total dentro dela.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss ao nosso caso:
Como a esfera envolve completamente a única carga, a carga interna é q_{\text{int}}=q=4{,}8\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Logo o fluxo é
\Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Observação pedagógica: não precisamos do raio da esfera — a Lei de Gauss mostra que o fluxo total depende apenas da carga total dentro da superfície, não da forma ou tamanho da superfície (desde que seja fechada). Se quiser ver por simetria: para uma carga puntual no centro, E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}} e integrando sobre a esfera \Phi=E\cdot 4\pi r^{2}=q/\varepsilon_{0}, o mesmo resultado.

Passo 5

Cálculo numérico detalhado: substituir valores e calcular passo a passo.
\Phi=\frac{4{,}8\times10^{-6}}{8{,}854\times10^{-12}}.
Separei a potência de dez:
\Phi=\frac{4{,}8}{8{,}854}\times10^{6}.
Calcule a razão numérica:
\frac{4{,}8}{8{,}854}\approx0{,}54195\ldots
Multiplicando por 10^{6}:
\Phi\approx0{,}54195\times10^{6}=5{,}4195\times10^{5}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas após a vírgula ou três algarismos significativos):
\Phi\approx5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}.

Passo 6

Interpretação final e sinal: como a carga é positiva, o fluxo líquido através da superfície orientada para fora também é positivo. A unidade do fluxo é \mathrm{N\,m^{2}/C} (ou equivalente).

Resposta

\Phi=5{,}42\times10^{5}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C}

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