A superfície de um lago é representada por uma região
em um plano
de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a
é dada por
onde
e
são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto
ache a taxa de variação instantânea na qual a profundidade varia na direção do eixo x e na direção do eixo y .
Passo 1
A questão trata de cálculo de derivadas parciais: temos a profundidade do lago dada por f(x,y)=ln√(300−2x²−3y²) e queremos saber como essa profundidade varia instantaneamente nas direções do eixo x e do eixo y no ponto (4,9).
Passo 2
Primeiro reescrevemos f de forma mais conveniente para derivar:
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para obter ∂f/∂x.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial em relação a x:
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a y:
Passo 5
Por fim, avaliamos essas derivadas no ponto (4,9). O denominador fica
Então
Resposta
As taxas de variação são
e
.