A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano x O y de modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x, y) é dada por f(x, y)=ln raiz300-2 x^2-3 y^2 onde x, y e f(x, y) são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto (4,9) ache a taxa de variação instantânea na qual a profundidade varia na direção do eixo x e na direção do eixo y .

Passo 1

A questão trata de cálculo de derivadas parciais: temos a profundidade do lago dada por f(x,y)=ln√(300−2x²−3y²) e queremos saber como essa profundidade varia instantaneamente nas direções do eixo x e do eixo y no ponto (4,9).

Passo 2

Primeiro reescrevemos f de forma mais conveniente para derivar:
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para obter ∂f/∂x.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x=12cdot1300-2x^2-3y^2cdot(-4x)=-2x300-2x^2-3y^2

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y=12cdot1300-2x^2-3y^2cdot(-6y)=-3y300-2x^2-3y^2

Passo 5

Por fim, avaliamos essas derivadas no ponto (4,9). O denominador fica
300-2cdot4^2-3cdot9^2=300-32-243=25
Então
partial fpartial x(4,9)=-2cdot425=-825,
partial fpartial y(4,9)=-3cdot925=-2725

Resposta

As taxas de variação são partial f/partial x(4,9)=-tfrac825 e partial f/partial y(4,9)=-tfrac2725.

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