Exercício 4 Seja f: R R uma função.
Supondo que lim x -infty f(x)x^3+x^2=+infty, calcule lim x -infty f(x+a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ e sabemos que quando $ x $ vai para menos infinito, o limite de $ \frac{f(x)}{x^{3} + x^{2}} $ é $ +\infty $. A gente precisa descobrir qual é o limite de $ f(x + a) $ quando $ x $ também vai para menos infinito. Vamos usar conceitos de limites no infinito e comportamento de funções polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x^{3} + x^{2}} = +\infty $. Isso quer dizer que, para valores muito negativos de $ x $, a função $ f(x) $ cresce muito mais rápido que o denominador $ x^{3} + x^{2} $. Basicamente, $ f(x) $ está “dominando” o comportamento da fração.

Passo 3

Vamos simplificar o denominador: $ x^{3} + x^{2} = x^{2}(x + 1) $. Para $ x $ indo para menos infinito, $ x + 1 $ é praticamente igual a $ x $, então $ x^{3} + x^{2} $ é aproximadamente $ x^{3} $. Assim, a fração fica $ \frac{f(x)}{x^{3}} $.

Passo 4

Então, temos que $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x^{3}} = +\infty $. Isso indica que $ f(x) $ cresce pelo menos tão rápido quanto $ x^{3} $ quando $ x $ vai para menos infinito. Ou seja, $ f(x) $ está na ordem de $ x^{3} $ ou maior.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que queremos calcular: $ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x + a) $. Quando $ x $ vai para menos infinito, $ x + a $ também vai para menos infinito, já que $ a $ é uma constante finita.

Passo 6

Como sabemos que $ f(x) $ cresce como $ x^{3} $ para $ x $ indo para menos infinito, substituindo $ x $ por $ x + a $, temos que $ f(x + a) $ também vai crescer como $ (x + a)^{3} $ quando $ x $ vai para menos infinito.

Passo 7

Portanto, já que $ f(x + a) $ cresce como $ (x + a)^{3} $ e estamos olhando para $ x $ indo para menos infinito, o limite de $ f(x + a) $ também será $ +\infty $.

Resposta

O limite $ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x + a) $ é $ +\infty $.

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