Sabe-se que, em coordenadas cilíndricas, boldsymbol{D}= \left(\rho \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\rho}}+z \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{z}}\right) /\left[4 \pi\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]. Com base nesta informação, faça os itens descritos em seguida.
Determine o fluxo que atravessa a superfície cilíndrica infinita \rho=7;

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico (vetor deslocamento) em coordenadas cilíndricas:
\mathbf{D}=\frac{\rho\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}+z\,\hat{\mathbf{a}}_{z}}{4\pi\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Pede-se o fluxo de \mathbf{D} que atravessa a superfície cilíndrica infinita \rho=7.
Informações relevantes listadas: \rho=7 é a superfície lateral de um cilindro de raio 7 estendendo-se para z\to\pm\infty; o vetor normal exterior à superfície lateral é \hat{\mathbf{a}}_{\rho}. A missão é calcular
\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S},
onde S é a superfície lateral \rho=7, para todo -\infty<z<\infty e 0\le\varphi<2\pi.

Passo 2

Vamos escrever o elemento de área da superfície cilíndrica de raio constante \rho=a. Para uma superfície \rho=a em coordenadas cilíndricas, o elemento de área vetorial aponta em \hat{\mathbf{a}}_{\rho} e vale
d\mathbf{S}=\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\,a\,d\varphi\,dz,
onde a=7, d\varphi é o ângulo azimutal e dz a variação na direção axial. Esta fórmula vem da expressão do elemento de área em coordenadas cilíndricas: comprimento ao redor a\,d\varphi vezes altura dz, com direção normal \hat{\mathbf{a}}_{\rho}.

Passo 3

O fluxo através da superfície é
\Phi=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{z=-\infty}^{\infty}\mathbf{D}(\rho=7,z)\cdot\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\;7\,dz\,d\varphi.
Agora avaliamos \mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{a}}_{\rho} em \rho=7. Da expressão dada,
\mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{a}}_{\rho}=\frac{\rho}{4\pi(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Substituindo \rho=7 obtemos
\mathbf{D}\cdot\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\Big|_{\rho=7}=\frac{7}{4\pi(49+z^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Substituindo no integral do fluxo:
\Phi=\int_{0}^{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{7}{4\pi(49+z^{2})^{3/2}}\cdot 7\,dz\,d\varphi =\frac{49}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}.
A integral em \varphi é trivial:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
portanto
\Phi=\frac{49}{4\pi}\cdot 2\pi\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}=\frac{49}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Agora precisamos calcular a integral impropria
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}.
Vamos fazer a troca de variável clássica para esse tipo de integral: ponha z=7\tan\theta. Então
dz=7\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad 49+z^{2}=49(1+\tan^{2}\theta)=49\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo,
\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}=\frac{7\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(49\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2}}.
Calcule o denominador: \bigl(49\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2}=49^{3/2}\operatorname{sec}^{3}\theta=7^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta=343\operatorname{sec}^{3}\theta. Então
\frac{dz}{(49+z^{2})^{3/2}}=\frac{7\operatorname{sec}^{2}\theta}{343\operatorname{sec}^{3}\theta}\,d\theta=\frac{1}{49}\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Os limites: quando z\to -\infty, \theta\to -\pi/2; quando z\to +\infty, \theta\to +\pi/2. Assim
I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{49}\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{49}\Bigl[\sin\theta\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{1}{49}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=\frac{1}{49}\cdot 2=\frac{2}{49}.

Passo 7

Voltando ao fluxo:
\Phi=\frac{49}{2}\cdot I=\frac{49}{2}\cdot\frac{2}{49}=1.
Portanto o fluxo através da superfície cilíndrica infinita \rho=7 é 1.

Resposta

1

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