Sabe-se que, em coordenadas cilíndricas, boldsymbol{D}= \left(\rho \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{\rho}}+z \hat{\mathrm{a}}_{\boldsymbol{z}}\right) /\left[4 \pi\left(\rho^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right]. Com base nesta informação, faça os itens descritos em seguida.
Determine o fluxo que atravessa a superfície cilíndrica infinita \rho=7;
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico (vetor deslocamento) em coordenadas cilíndricas:
Pede-se o fluxo de \mathbf{D} que atravessa a superfície cilíndrica infinita \rho=7.
Informações relevantes listadas: \rho=7 é a superfície lateral de um cilindro de raio 7 estendendo-se para z\to\pm\infty; o vetor normal exterior à superfície lateral é \hat{\mathbf{a}}_{\rho}. A missão é calcular
\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S},
onde S é a superfície lateral \rho=7, para todo -\infty<z<\infty e 0\le\varphi<2\pi.
Passo 2
Vamos escrever o elemento de área da superfície cilíndrica de raio constante \rho=a. Para uma superfície \rho=a em coordenadas cilíndricas, o elemento de área vetorial aponta em \hat{\mathbf{a}}_{\rho} e vale
onde a=7, d\varphi é o ângulo azimutal e dz a variação na direção axial. Esta fórmula vem da expressão do elemento de área em coordenadas cilíndricas: comprimento ao redor a\,d\varphi vezes altura dz, com direção normal \hat{\mathbf{a}}_{\rho}.
Calcule o denominador: \bigl(49\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{3/2}=49^{3/2}\operatorname{sec}^{3}\theta=7^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta=343\operatorname{sec}^{3}\theta. Então