Uma superfície regular é uma aplicação varphi: U longrightarrow R^3, onde U subset R^2 aberto tal que:
  • varphi é diferenciável;
  • varphi é um homeomorfismo, isto é, varphi é um bijeção contínua com inversa contínua;
  • Para todo q in U, d varphiq: R^2 longrightarrow R^3 é injetiva.
    O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
    Proposição 1 Se f(u, v) é uma função diferenciável, onde (u, v) in R^2, então a aplicação varphi(u, v)=(u, v, f(u, v)) é uma superfície regular, que descreve o gráfico da função f.
    Proposição 2 Seja varphi(u, v) uma superfície regular. Para cada q in U, temos
K(q)=e g-f^2E G-F^2
e
H(q)=12 e G-2 f F+g EE G-F^2
onde E=lang<=varphiu, varphiurang<=, F=lang<=varphiu, varphivrang<=, G=lang<=varphiv, varphivrang<=, e=lang<= N, varphiu urang<=, f=lang<= N, varphiv urang<=, g=lang<= N, varphiv vrang<=, com N=varphiu times varphiv|varphiu times varphiv|.
Temos que K é dita a curvatura Gaussiana e H é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Se a superfície é dada pelo gráfico de uma função, isto é,
varphi(u, v)=(u, v, f(u, v))
calcule suas curvaturas Gaussiana e média.

Passo 1

Estamos lidando com o gráfico de uma função f(u,v), ou seja, a superfície φ(u,v) = (u, v, f(u,v)). O conteúdo aqui é cálculo de curvaturas de superfície regular, e vamos precisar usar as definições dos coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental e depois aplicar as fórmulas de K e H dadas na proposição.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de φ e os coeficientes da primeira forma fundamental. Como φ(u,v) = (u, v, f(u,v)) temos: φ_u = (1, 0, f_u) e φ_v = (0, 1, f_v). Logo,
E = ⟨φ_u, φ_u⟩ = 1 + f_u^2, F = ⟨φ_u, φ_v⟩ = f_u f_v, G = ⟨φ_v, φ_v⟩ = 1 + f_v^2.

Passo 3

Em seguida, obtemos a normal unitária N a partir do produto vetorial φ_u × φ_v: φ_u × φ_v = ( −f_u, −f_v, 1 ). Então
N = (−f_u, −f_v, 1)/√(1 + f_u^2 + f_v^2).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas segundas de φ e os coeficientes da segunda forma fundamental. Como φ_{uu} = (0,0,f_{uu}), φ_{uv} = (0,0,f_{uv}) e φ_{vv} = (0,0,f_{vv}), temos:
e = ⟨N, φ_{uu}⟩ = f_{uu}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), f = ⟨N, φ_{uv}⟩ = f_{uv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), g = ⟨N, φ_{vv}⟩ = f_{vv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2).

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas da proposição:
Para a curvatura Gaussiana
K = e,g - f^2E,G - F^2
Para a curvatura média
H = 12e,G - 2f,F + g,EE,G - F^2
Basta inserir E,F,G,e,f,g e simplificar. O denominador comum é (1 + f_u^2 + f_v2)2.
Após simplificação obtemos as fórmulas padrão para o gráfico de f:

Resposta

K = fuu,fvv - fuv^2l(1 + fu^2 + fv^2r)^2,
H = (1 + fu^2)fvv - 2fufvfuv + (1 + fv^2)fuu2,(1 + fu^2 + fv^2)^3/2

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