Uma superfície regular é uma aplicação
, onde
aberto tal que:
-
é diferenciável;
-
é um homeomorfismo, isto é,
é um bijeção contínua com inversa contínua;
- Para todo
é injetiva.
O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
Proposição 1 Se
é uma função diferenciável, onde
, então a aplicação
é uma superfície regular, que descreve o gráfico da função
.
Proposição 2 Seja
uma superfície regular. Para cada
, temos
onde
, com
.
Temos que
é dita a curvatura Gaussiana e
é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Se a superfície é dada pelo gráfico de uma função, isto é,
calcule suas curvaturas Gaussiana e média.
O seguinte resultado nos diz que o gráfico de uma função diferencíavel é uma superfície regular.
Proposição 1 Se
Proposição 2 Seja
Temos que
Se a superfície é dada pelo gráfico de uma função, isto é,
Passo 1
Estamos lidando com o gráfico de uma função f(u,v), ou seja, a superfície φ(u,v) = (u, v, f(u,v)). O conteúdo aqui é cálculo de curvaturas de superfície regular, e vamos precisar usar as definições dos coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental e depois aplicar as fórmulas de K e H dadas na proposição.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de φ e os coeficientes da primeira forma fundamental. Como φ(u,v) = (u, v, f(u,v)) temos: φ_u = (1, 0, f_u) e φ_v = (0, 1, f_v). Logo,
E = ⟨φ_u, φ_u⟩ = 1 + f_u^2, F = ⟨φ_u, φ_v⟩ = f_u f_v, G = ⟨φ_v, φ_v⟩ = 1 + f_v^2.
E = ⟨φ_u, φ_u⟩ = 1 + f_u^2, F = ⟨φ_u, φ_v⟩ = f_u f_v, G = ⟨φ_v, φ_v⟩ = 1 + f_v^2.
Passo 3
Em seguida, obtemos a normal unitária N a partir do produto vetorial φ_u × φ_v: φ_u × φ_v = ( −f_u, −f_v, 1 ). Então
N = (−f_u, −f_v, 1)/√(1 + f_u^2 + f_v^2).
N = (−f_u, −f_v, 1)/√(1 + f_u^2 + f_v^2).
Passo 4
Agora calculamos as derivadas segundas de φ e os coeficientes da segunda forma fundamental. Como φ_{uu} = (0,0,f_{uu}), φ_{uv} = (0,0,f_{uv}) e φ_{vv} = (0,0,f_{vv}), temos:
e = ⟨N, φ_{uu}⟩ = f_{uu}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), f = ⟨N, φ_{uv}⟩ = f_{uv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), g = ⟨N, φ_{vv}⟩ = f_{vv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2).
e = ⟨N, φ_{uu}⟩ = f_{uu}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), f = ⟨N, φ_{uv}⟩ = f_{uv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2), g = ⟨N, φ_{vv}⟩ = f_{vv}/√(1 + f_u^2 + f_v^2).
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas da proposição:
Para a curvatura Gaussiana
Para a curvatura Gaussiana
Para a curvatura média
Basta inserir E,F,G,e,f,g e simplificar. O denominador comum é (1 + f_u^2 + f_v2)2.
Após simplificação obtemos as fórmulas padrão para o gráfico de f:
Após simplificação obtemos as fórmulas padrão para o gráfico de f: