Identifique e esboce as superfícies de equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
. Isso faz parte do tópico de superfícies em cálculo multivariável, onde precisamos usar noções de domínio, imagem, simetria, seções transversais e curvas de nível.
Passo 2
Analisamos o domínio e a imagem da função. Como
é definido para todo
, o domínio é
. Como o exponencial de um número negativo varia de 0 (exclusive) até 1 (inclusive), a imagem é
, com o máximo
em
.
Passo 3
Observamos que a função depende de
. Logo ela é radialmente simétrica em torno do eixo
. Isso significa que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo
.
Passo 4
Para entender o formato, olhamos as seções transversais em planos coordenados. Por exemplo, em
temos
, que é a clássica “curva gaussiana” numa vista lateral. O mesmo acontece em
.
Passo 5
Estudamos as curvas de nível no plano
. Fixando
com
, temos
Passo 6
Juntando tudo, a superfície é um “sino” suave (campânula gaussiana) centrado na origem, com pico em
e decaindo rapidamente até
quando
.
Resposta
A superfície é uma campânula gaussiana: um sino radialmente simétrico com pico em (0,0,1) e que decai para 0 conforme x²+y² aumenta.