Identifique e esboce as superfícies de equações abaixo.
z=e^-(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por z = e^-(x^2 + y^2). Isso faz parte do tópico de superfícies em cálculo multivariável, onde precisamos usar noções de domínio, imagem, simetria, seções transversais e curvas de nível.

Passo 2

Analisamos o domínio e a imagem da função. Como x^2 + y^2 é definido para todo (x,y) in R^2, o domínio é R^2. Como o exponencial de um número negativo varia de 0 (exclusive) até 1 (inclusive), a imagem é 0 < z <= 1, com o máximo z=1 em (0,0).

Passo 3

Observamos que a função depende de r^2 = x^2 + y^2. Logo ela é radialmente simétrica em torno do eixo z. Isso significa que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo z.

Passo 4

Para entender o formato, olhamos as seções transversais em planos coordenados. Por exemplo, em y=0 temos z = e^-x^2, que é a clássica “curva gaussiana” numa vista lateral. O mesmo acontece em x=0.

Passo 5

Estudamos as curvas de nível no plano xy. Fixando z = c com 0, temos
x^2 + y^2 = -ln c Essas são circunferências de raio raiz-ln c. À medida que c decresce de 1 para 0, o raio cresce de 0 para infty.

Passo 6

Juntando tudo, a superfície é um “sino” suave (campânula gaussiana) centrado na origem, com pico em (0,0,1) e decaindo rapidamente até zto0 quando raizx^2+y^2toinfty.

Resposta

A superfície é uma campânula gaussiana: um sino radialmente simétrico com pico em (0,0,1) e que decai para 0 conforme x²+y² aumenta.

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