Dois carros se movem no plano e suas trajetórias são descritas através das equações
, respectivamente. Pede-se:
Qual a distancia percorrida por cada carro desde o instante
até o instante
?
Qual a distancia percorrida por cada carro desde o instante
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos dois carros se movendo no plano, com suas posições descritas por funções de tempo $ t $. Queremos descobrir a distância que cada carro percorreu desde o instante $ t = 0 $ até $ t = \frac{9\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a distância total percorrida.
Passo 2
Entendendo a Velocidade e a Distância Percorrida: A posição de um objeto em movimento é dada pelas funções $ x(t) $ e $ y(t) $. A velocidade é a derivada dessas funções em relação ao tempo. Para encontrar a distância total percorrida, precisamos integrar a magnitude da velocidade ao longo do intervalo de tempo desejado.
Passo 3
Calculando a Velocidade do Carro 1: Vamos começar analisando o primeiro carro, cujas trajetórias são:
Para encontrar a velocidade, derivamos $ x_{1}(t) $ e $ y_{1}(t) $ em relação a $ t $:
Passo 4
Magnitude da Velocidade do Carro 1: A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Passo 5
Configurando a Integral para a Distância do Carro 1:
A distância percorrida pelo Carro 1 de $ t = 0 $ a $ t = \frac{9\pi}{4} $ é dada por:
Passo 6
Simplificando a Expressão da Integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na expressão:
Então, a integral fica:
Passo 7
Avaliando a Integral para $ D_1 $:
Essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares, mas podemos aproximá-la numericamente. Utilizando métodos de integração numérica ou tabelas de integrais, encontramos aproximadamente:
Passo 8
Calculando a Distância do Carro 2:
Agora, vamos analisar o segundo carro, cujas trajetórias são:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 9
Magnitude da Velocidade do Carro 2:
A velocidade escalar do Carro 2 é:
Passo 10
Calculando a Distância do Carro 2:
Como a velocidade é constante e igual a 1, a distância percorrida de $ t = 0 $ a $ t = \frac{9\pi}{4} $ é simplesmente:
Resposta
A distância percorrida pelo Carro 1 é aproximadamente $ 16,7 $ unidades, e pelo Carro 2 é exatamente $ \dfrac{9\pi}{4} $ unidades.