Dois carros se movem no plano e suas trajetórias são descritas através das equações lx1(t)=3 sin t y1(t)=2 cos t elx2(t)=3+cos t y2(t)=1+sin t, t >= 0, respectivamente. Pede-se:
Qual a distancia percorrida por cada carro desde o instante t=0 até o instante t=9 pi4 ?

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos dois carros se movendo no plano, com suas posições descritas por funções de tempo $ t $. Queremos descobrir a distância que cada carro percorreu desde o instante $ t = 0 $ até $ t = \frac{9\pi}{4} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da velocidade para encontrar a distância total percorrida.

Passo 2

Entendendo a Velocidade e a Distância Percorrida: A posição de um objeto em movimento é dada pelas funções $ x(t) $ e $ y(t) $. A velocidade é a derivada dessas funções em relação ao tempo. Para encontrar a distância total percorrida, precisamos integrar a magnitude da velocidade ao longo do intervalo de tempo desejado.

Passo 3

Calculando a Velocidade do Carro 1: Vamos começar analisando o primeiro carro, cujas trajetórias são:
x1(t) = 3 sin t y1(t) = 2 cos t
Para encontrar a velocidade, derivamos $ x_{1}(t) $ e $ y_{1}(t) $ em relação a $ t $:
x1(t)

Passo 4

Magnitude da Velocidade do Carro 1: A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
|v1(t)| = raiz(dx1dt)^2 + (dy1dt)^2 = raiz(3 cos t)^2 + (-2 sin t)^2 = raiz9 cos^2 t + 4 sin^2 t

Passo 5

Configurando a Integral para a Distância do Carro 1:
A distância percorrida pelo Carro 1 de $ t = 0 $ a $ t = \frac{9\pi}{4} $ é dada por:
t = 0

Passo 6

Simplificando a Expressão da Integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 t = 1 + cos 2t2 sin^2 t = 1 - cos 2t2
Substituindo na expressão:
raiz9 (1 + cos 2t2) + 4 (1 - cos 2t2) = raiz132 + 52 cos 2t
Então, a integral fica:
D1 = integral0^9pi4 raiz132 + 52 cos 2t , dt

Passo 7

Avaliando a Integral para $ D_1 $:
Essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares, mas podemos aproximá-la numericamente. Utilizando métodos de integração numérica ou tabelas de integrais, encontramos aproximadamente:
D1

Passo 8

Calculando a Distância do Carro 2:
Agora, vamos analisar o segundo carro, cujas trajetórias são:
x2(t) = 3 + cos t y2(t) = 1 + sin t
Derivando em relação a $ t $:
t

Passo 9

Magnitude da Velocidade do Carro 2:
A velocidade escalar do Carro 2 é:
|v2(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1

Passo 10

Calculando a Distância do Carro 2:
Como a velocidade é constante e igual a 1, a distância percorrida de $ t = 0 $ a $ t = \frac{9\pi}{4} $ é simplesmente:
t = 0

Resposta

A distância percorrida pelo Carro 1 é aproximadamente $ 16,7 $ unidades, e pelo Carro 2 é exatamente $ \dfrac{9\pi}{4} $ unidades.

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