A superfície S é dada pela equação 3 x^{2} y z=5 x-z^{2}+2. Obtenha a equagand do plano tangente a S no ponto ( 1,2,1 ).

Passo 1

O enunciado pede: obter a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
3x^{2}yz = 5x - z^{2} + 2
no ponto (1,2,1).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície está definida implicitamente por uma relação entre x,y,z.
  • O ponto onde se quer o plano tangente é (x_0,y_0,z_0) = (1,2,1).

Passo 2

Para trabalhar com superfícies definidas implicitamente, é conveniente escrever tudo na forma
F(x,y,z)=0.
Definimos
F(x,y,z)=3x^{2}yz - 5x + z^{2} - 2.
Assim a superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que F(x,y,z)=0. Note que isso apenas reorganiza o enunciado; não muda a superfície.

Passo 3

Ideia chave (explicação didática): o vetor gradiente de F,
\displaystyle \nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\,\frac{\partial F}{\partial y},\,\frac{\partial F}{\partial z}\right),
é perpendicular à superfície F(x,y,z)=0 em cada ponto onde as derivadas parciais existem. Logo \nabla F(x_0,y_0,z_0) é um vetor normal ao plano tangente em (x_0,y_0,z_0).
Fórmula do plano tangente (que você pode usar na prova): se \nabla F(x_0,y_0,z_0)=(A,B,C) e o ponto é (x_0,y_0,z_0), então a equação do plano tangente é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui A,B,C são os coeficientes das componentes do vetor normal (ou seja, as derivadas parciais avaliadas no ponto).

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de F passo a passo.
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y,z como constantes e derivar termo a termo. \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}yz\big)=3\cdot 2x\cdot yz=6xyz,
\frac{\partial}{\partial x}(-5x)=-5,
e \dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2}-2)=0.
Portanto
\frac{\partial F}{\partial x}=6xyz-5.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x,z como constantes.
    \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}yz\big)=3x^{2}z,
    e os outros termos não dependem de y, logo
    \frac{\partial F}{\partial y}=3x^{2}z.
  • Derivada parcial em relação a z: tratar x,y como constantes.
    \frac{\partial}{\partial z}\big(3x^{2}yz\big)=3x^{2}y,
\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}\big)=2z,
portanto
\frac{\partial F}{\partial z}=3x^{2}y+2z.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0,z_0)=(1,2,1).
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial x}:
    \frac{\partial F}{\partial x}(1,2,1)=6\cdot 1\cdot 2\cdot 1 - 5 = 12-5=7.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial y}:
    \frac{\partial F}{\partial y}(1,2,1)=3\cdot 1^{2}\cdot 1 = 3.
  • Para \dfrac{\partial F}{\partial z}:
    \frac{\partial F}{\partial z}(1,2,1)=3\cdot 1^{2}\cdot 2 + 2\cdot 1 = 6+2=8.
Logo o vetor normal ao plano tangente em (1,2,1) é \nabla F(1,2,1)=(7,3,8).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com A=7, B=3, C=8 e o ponto (x_0,y_0,z_0)=(1,2,1):
7(x-1)+3(y-2)+8(z-1)=0.
Se preferir, essa equação pode ser simplificada (multiplicando e somando os termos constantes) para uma forma explícita.

Resposta

7x+3y+8z=21

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