A superfície
é dada pela equação
. Obtenha a equagand do plano tangente a
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado pede: obter a equação do plano tangente à superfície dada pela equação
no ponto
.
Informações relevantes dadas:
- A superfície está definida implicitamente por uma relação entre
. - O ponto onde se quer o plano tangente é
.
Passo 2
Para trabalhar com superfícies definidas implicitamente, é conveniente escrever tudo na forma
Definimos
Assim a superfície é o conjunto de pontos
tais que
. Note que isso apenas reorganiza o enunciado; não muda a superfície.
Passo 3
Ideia chave (explicação didática): o vetor gradiente de
,
é perpendicular à superfície
em cada ponto onde as derivadas parciais existem. Logo
é um vetor normal ao plano tangente em
.
Fórmula do plano tangente (que você pode usar na prova): se
e o ponto é
, então a equação do plano tangente é
Aqui
são os coeficientes das componentes do vetor normal (ou seja, as derivadas parciais avaliadas no ponto).
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constantes e derivar termo a termo.
e
.
Portanto
Portanto
-
Derivada parcial em relação a
: tratar como constantes. e os outros termos não dependem de, logo -
Derivada parcial em relação a
: tratar como constantes.
portanto
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Logo o vetor normal ao plano tangente em
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com
,
,
e o ponto
:
Se preferir, essa equação pode ser simplificada (multiplicando e somando os termos constantes) para uma forma explícita.