Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
(2.5 pontos)
f(x)=\frac{\sqrt{64 x^{2}+1}}{2 x-4}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\sqrt{64 x^{2}+1}}{2 x-4}
e pede que se determinem as assíntotas horizontais e verticais do gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x) para todo x tal que o denominador não seja zero.
  • O domínio natural da raiz quadrada é todo \mathbb{R}, porque 64x^2+1>0 para todo x.
  • O denominador 2x-4 anula-se em x=2.
O que o problema pede:
  • Encontrar as assíntotas verticais (valores de x onde a função tende a \pm\infty).
  • Encontrar as assíntotas horizontais (valores de y que são limites quando x\to+\infty e x\to-\infty).

Passo 2

Conceito rápido (sem jargões): uma linha vertical x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) for +\infty ou -\infty. Para funções racionais ou semelhantes, pontos candidatos são onde o denominador zera. Aqui o denominador zera em
2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=2.
Vamos verificar o comportamento de f(x) quando x\to2^\pm.

Passo 3

Calcular o numerador em x=2 para saber se ele anula também:
\sqrt{64\cdot 2^{2}+1}=\sqrt{64\cdot 4+1}=\sqrt{256+1}=\sqrt{257}.
Observação: \sqrt{257} é um número positivo e finito (aprox. 16{,}03), logo o numerador NÃO se anula em x=2. Isso indica que, perto de x=2, temos um número finito no numerador dividido por algo que tende a zero — situação típica de limite com módulo crescendo sem limite.

Passo 4

Analisar os sinais do denominador ao se aproximar de 2:
  • Para x\to 2^+: 2x-4>0 e muito pequeno. O numerador tende para \sqrt{257}>0. Logo o quociente tende para +\infty.
  • Para x\to 2^-: 2x-4<0 e muito próximo de zero. O numerador tende para \sqrt{257}>0. Logo o quociente tende para -\infty.
Portanto:
\lim_{x\to 2^-} f(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+} f(x) = +\infty,
o que confirma que x=2 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Conceito rápido para assíntotas horizontais: linhas y=L que a função se aproxima quando x\to+\infty ou x\to-\infty. Calcula-se \lim_{x\to\pm\infty} f(x). Para limites no infinito com termos do tipo \sqrt{ax^2+\dots}, é útil escrever a raiz em função de |x|:
\sqrt{64x^{2}+1}=|x|\sqrt{64+\frac{1}{x^{2}}}.
A partir dessa forma, tratam-se os sinais conforme x\to+\infty ou x\to-\infty.

Passo 6

Limite para x\to +\infty. Aqui |x|=x, então
f(x)=\frac{\sqrt{64x^{2}+1}}{2x-4}=\frac{x\sqrt{64+\dfrac{1}{x^{2}}}}{2x-4}.
Dividindo numerador e denominador por x (válido para x\neq0, e interessa x\to+\infty):
f(x)=\frac{\sqrt{64+\dfrac{1}{x^{2}}}}{2-\dfrac{4}{x}}.
Agora tome o limite x\to+\infty. Os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{4}{x} vão a zero, então
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{\sqrt{64+0}}{2-0}=\frac{8}{2}=4.
Logo y=4 é assíntota horizontal pela direita.

Passo 7

Limite para x\to -\infty. Aqui |x|=-x (porque x é negativo), então
\sqrt{64x^{2}+1}=(-x)\sqrt{64+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Portanto
f(x)=\frac{(-x)\sqrt{64+\dfrac{1}{x^{2}}}}{2x-4}.
Dividindo numerador e denominador por x (note que x<0, mas divisão algébrica válida; cuidamos apenas do sinal que aparece no numerador):
f(x)=\frac{-\sqrt{64+\dfrac{1}{x^{2}}}}{2-\dfrac{4}{x}}.
Tomando x\to -\infty, os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{4}{x} tendem a zero, então
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\frac{-\sqrt{64+0}}{2-0}=\frac{-8}{2}=-4.
Logo y=-4 é assíntota horizontal pela esquerda.

Passo 8

Conclusões finais e verificação rápida:
  • Não há outros pontos onde o denominador zera, então não há outras assíntotas verticais além de x=2.
  • As duas assíntotas horizontais são diferentes para os dois sentidos infinitos: y=4 quando x\to+\infty e y=-4 quando x\to-\infty.

Resposta

Assíntota vertical: x=2
Assíntotas horizontais: y=4 (para x\to+\infty)
y=-4 (para x\to-\infty)

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