Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
(2.5 pontos)
(2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determinem as assíntotas horizontais e verticais do gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
para todo tal que o denominador não seja zero. - O domínio natural da raiz quadrada é todo
, porque para todo . - O denominador
anula-se em .
O que o problema pede:
- Encontrar as assíntotas verticais (valores de
onde a função tende a ). - Encontrar as assíntotas horizontais (valores de
que são limites quando e ).
Passo 2
Conceito rápido (sem jargões): uma linha vertical
é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais
ou
for
ou
. Para funções racionais ou semelhantes, pontos candidatos são onde o denominador zera. Aqui o denominador zera em
Vamos verificar o comportamento de
quando
.
Passo 3
Calcular o numerador em
para saber se ele anula também:
Observação:
é um número positivo e finito (aprox.
), logo o numerador NÃO se anula em
. Isso indica que, perto de
, temos um número finito no numerador dividido por algo que tende a zero — situação típica de limite com módulo crescendo sem limite.
Passo 4
Analisar os sinais do denominador ao se aproximar de
:
- Para
: e muito pequeno. O numerador tende para . Logo o quociente tende para . - Para
: e muito próximo de zero. O numerador tende para . Logo o quociente tende para .
Portanto:
o que confirma que
é uma assíntota vertical.
Passo 5
Conceito rápido para assíntotas horizontais: linhas
que a função se aproxima quando
ou
. Calcula-se
. Para limites no infinito com termos do tipo
, é útil escrever a raiz em função de
:
A partir dessa forma, tratam-se os sinais conforme
ou
.
Passo 6
Limite para
. Aqui
, então
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
, e interessa
):
Agora tome o limite
. Os termos
e
vão a zero, então
Logo
é assíntota horizontal pela direita.
Passo 7
Limite para
. Aqui
(porque
é negativo), então
Portanto
Dividindo numerador e denominador por
(note que
, mas divisão algébrica válida; cuidamos apenas do sinal que aparece no numerador):
Tomando
, os termos
e
tendem a zero, então
Logo
é assíntota horizontal pela esquerda.
Passo 8
Conclusões finais e verificação rápida:
- Não há outros pontos onde o denominador zera, então não há outras assíntotas verticais além de
. - As duas assíntotas horizontais são diferentes para os dois sentidos infinitos:
quando e quando .
Resposta
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: (para
)
(para
)
Assíntotas horizontais: