Usando a definição de limite, mostre que: (2.5 pontos)
\lim _{x \rightarrow 4} x^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\rightarrow 4} x^{2}=16.
Informações e o que é solicitado:
  • A função considerada é f(x)=x^{2}.
  • O ponto para o limite é x\to 4.
  • O valor candidato do limite é 16.
  • Pedido: provar rigorosamente, com a definição \varepsilon- \delta, que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se 0<|x-4|<\delta então |x^{2}-16|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrete do que significa provar por definição ( \varepsilon- \delta):
Dizer que \lim_{x\to 4}x^{2}=16 significa provar que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-4|<\delta,\text{ então }|x^{2}-16|<\varepsilon.ã
Vou seguir exatamente essa forma: tomo um \varepsilon>0 arbitrário e mostro como escolher um \delta>0 adequado.

Passo 3

Começo manipulando a diferença que queremos tornar pequena:
|x^{2}-16| = |x^{2}-4^{2}| = |x-4|\;|x+4|.
Queremos fazer |x-4|\;|x+4|<\varepsilon. O problema é que |x+4| depende de x. A ideia padrão é restringir x a um intervalo pequeno em torno de 4 para controlar |x+4| por uma constante.
Escolho um valor provisório para controlar a vizinhança: suponha que
|x-4|<1.
Isso garante que 3<x<5, logo |x|<5. A partir daí obtemos um limite superior simples para |x+4|:
|x+4|\le |x|+4 < 5+4 = 9.
Portanto, sempre que |x-4|<1 vale
|x^{2}-16| = |x-4|\;|x+4| < 9\,|x-4|.

Passo 4

Agora relaciono isso com \varepsilon. Se eu conseguir garantir 9\,|x-4|<\varepsilon então automaticamente |x^{2}-16|<\varepsilon. Assim basta pedir também que
|x-4|<\frac{\varepsilon}{9}.
Para satisfazer simultaneamente as duas condições (a provisória |x-4|<1 usada para controlar |x+4| e a exigência |x-4|<\varepsilon/9), escolho
\delta=\min\!\left(1,\frac{\varepsilon}{9}\right).
Esse \delta>0 depende de \varepsilon como exige a definição.

Passo 5

Verificação final: seja qualquer \varepsilon>0 e tome \delta como acima. Se 0<|x-4|<\delta então, porque \delta\le 1, tem-se |x-4|<1 e portanto |x+4|<9. Também |x-4|<\delta\le \varepsilon/9, então
|x^{2}-16| = |x-4|\;|x+4| < 9\,|x-4| < 9\cdot\frac{\varepsilon}{9} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o escolhido) tal que 0<|x-4|<\delta implica |x^{2}-16|<\varepsilon. Logo a definição de limite é satisfeita.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4} x^{2}=16

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