Usando a definição de limite, mostre que: (2.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite, que
Informações e o que é solicitado:
- A função considerada é
. - O ponto para o limite é
. - O valor candidato do limite é
. - Pedido: provar rigorosamente, com a definição
- , que para todo existe tal que se então .
Passo 2
Lembrete do que significa provar por definição (
-
):
Dizer que significa provar que
Dizer que
Vou seguir exatamente essa forma: tomo um
arbitrário e mostro como escolher um
adequado.
Passo 3
Começo manipulando a diferença que queremos tornar pequena:
Queremos fazer
. O problema é que
depende de
. A ideia padrão é restringir
a um intervalo pequeno em torno de
para controlar
por uma constante.
Escolho um valor provisório para controlar a vizinhança: suponha que
Isso garante que
, logo
. A partir daí obtemos um limite superior simples para
:
Portanto, sempre que
vale
Passo 4
Agora relaciono isso com
. Se eu conseguir garantir
então automaticamente
. Assim basta pedir também que
Para satisfazer simultaneamente as duas condições (a provisória
usada para controlar
e a exigência
), escolho
Esse
depende de
como exige a definição.
Passo 5
Verificação final: seja qualquer
e tome
como acima. Se
então, porque
, tem-se
e portanto
. Também
, então
Isso mostra exatamente que para todo
existe
(o escolhido) tal que
implica
. Logo a definição de limite é satisfeita.