5- Uma superfície tem uma absortância de 0,85 e uma emissividade de 0,5 a temperatura ambiente. A temperatura da superfície é 350 K quando os componentes direto e difuso da radiação solar são \mathrm{G}_{\mathrm{D}}=350 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} e \mathrm{G}_{\mathrm{d}}=400 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}, respectivamente. A radiação direta faz um ângulo de 30^{\circ} com a normal da superfície. Considerando que a temperatura efetiva do céu é 280 K , determine a taxa líquida de transferência de calor por radiação para a superfície.
Resp: 347 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a taxa líquida de transferência de calor por radiação (por unidade de área) para a superfície nas condições dadas.
Dados fornecidos (peguei os valores da figura do enunciado quando aplicável):
  • absortância para radiação solar: \alpha=0,85 (dado).
  • emissividade na faixa térmica (infravermelho): \varepsilon=0,5 (dado).
  • temperatura da superfície: T_s=350\\ \mathrm{K} (dado).
  • irradiância direta (feixe): G_D=350\\ \mathrm{W/m^{2}} (dado da figura).
  • irradiância difusa: G_d=400\\ \mathrm{W/m^{2}} (dado da figura).
  • ângulo entre o feixe direto e a normal da superfície: \theta=30^\circ (dado da figura).
  • temperatura efetiva do céu: T_{sky}=280\\ \mathrm{K} (dado).
  • constante de Stefan–Boltzmann: \sigma (vou usar o valor padrão numérico na conta).
Pergunta explícita: determinar a taxa líquida de transferência de calor por radiação (em \mathrm{W/m^{2}}) para a superfície, considerando absorção da radiação solar (direta + difusa) e troca de radiação térmica com o céu.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • A superfície absorve parte da radiação solar incidente (curto comprimento de onda). A potência por área absorvida da componente direta é dada por \alpha\,G_D\cos\theta. Aqui:
    • \alpha é a absortância (fração de curto-onda absorvida),
    • G_D é a irradiância direta incidente (em \mathrm{W/m^{2}}),
    • \cos\theta corrige pela projeção da área normal ao feixe (quando o feixe não é normal à superfície).
  • A potência por área absorvida da componente difusa é \alpha\,G_d. Neste enunciado G_d já é a irradiância difusa incidente sobre a superfície (em \mathrm{W/m^{2}}), então não precisa de fator geométrico adicional.
  • A superfície também troca radiação térmica (onda longa) com o céu. Pela lei de Stefan–Boltzmann, uma superfície com emissividade \varepsilon emite \varepsilon\sigma T_s^{4} e absorve da radiação do céu \varepsilon\sigma T_{sky}^{4} (assumindo que o céu efetivo pode ser representado por uma temperatura uniforme e que o fator de visão para o céu é 1 do lado exposto). O fluxo líquido de onda longa recebido pela superfície é, portanto, q_{\text{LW, líquida}}=\varepsilon\sigma\bigl(T_{sky}^{4}-T_{s}^{4}\bigr).í
  • Assim, soma-se a absorção de curto-onda (direta + difusa) com o ganho/perda de longo-onda para obter a taxa líquida de radiação sobre a superfície: q_{\text{líquido}}=\alpha\bigl(G_D\cos\theta+G_d\bigr)+\varepsilon\sigma\bigl(T_{sky}^{4}-T_{s}^{4}\bigr).í
Explicando sinais: termos positivos contribuem aquecendo a superfície; o termo de onda longa será negativo se T_s>T_{sky}, indicando perda térmica.

Passo 3

Cálculo da absorção da radiação solar (curto-onda).
Calcule \cos\theta com \theta=30^\circ:
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254.
Potência absorvida do feixe direto por unidade de área:
q_{D}=\alpha\,G_D\cos\theta
q_{D}=0{,}85\cdot350\cdot0{,}8660254.
Vamos calcular passo a passo:
350\cdot0{,}8660254=303{,}1089\\ \mathrm{W/m^{2}},
q_{D}=0{,}85\cdot303{,}1089=257{,}642565\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Potência absorvida da radiação difusa:
q_{d}=\alpha\,G_d=0{,}85\cdot400=340\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Somando as componentes curto-onda absorvidas:
q_{\text{SW, absorvida}}=q_{D}+q_{d}=257{,}642565+340=597{,}642565\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Explicação da troca de onda longa (infravermelho) e cálculo:
  • Usamos a constante de Stefan–Boltzmann \sigma. Vou usar o valor numérico \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • O fluxo líquido de onda longa sobre a superfície é q_{\text{LW, líquida}}=\varepsilon\sigma\bigl(T_{sky}^{4}-T_{s}^{4}\bigr).í
Substituindo \varepsilon=0{,}5, T_{sky}=280\\ \mathrm{K} e T_s=350\\ \mathrm{K}:
Calcule T_{sky}^{4} e T_s^{4}:
280^{4}=6{,}1456\times10^{9}, \qquad 350^{4}=1{,}500625\times10^{10}.
Diferença:
T_{sky}^{4}-T_{s}^{4}=6{,}1456\times10^{9}-1{,}500625\times10^{10}=-8{,}86065\times10^{9}.
Agora multiplica por \sigma e por \varepsilon:
\sigma\bigl(T_{sky}^{4}-T_{s}^{4}\bigr)=5{,}670374419\times10^{-8}\cdot(-8{,}86065\times10^{9})\approx-502{,}428\\ \mathrm{W/m^{2}},
q_{\text{LW, líquida}}=\varepsilon\cdot(\cdots)=0{,}5\cdot(-502{,}428)\approx-251{,}214\\ \mathrm{W/m^{2}}.í
Interpretação: número negativo indica que, por onda longa, a superfície perde aproximadamente 251{,}2\\ \mathrm{W/m^{2}} para o céu (ou seja, o céu é “mais frio” que a superfície).

Passo 5

Somar todas as contribuições para obter a taxa líquida de radiação:
q_{\text{líquido}}=q_{\text{SW, absorvida}}+q_{\text{LW, líquida}}.íí
Substituindo os números obtidos:
q_{\text{líquido}}=597{,}642565+(-251{,}214)\approx346{,}428565\\ \mathrm{W/m^{2}}.í
Arredondando com coerência com a resposta dada no enunciado:
q_{\text{líquido}}\approx347\\ \mathrm{W/m^{2}}.í

Passo 6

Verificação rápida de consistência e interpretação:
  • A maior parcela vem da absorção da radiação solar (curto-onda) total, que aqui é \approx598\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Parte disso é compensada pela perda de onda longa para o céu mais frio ( \approx251\\ \mathrm{W/m^{2}}).
  • Resultado positivo significa que, no balanço radiativo, a superfície está recebendo calor líquido por radiação (ou seja, radiação absorvida > emissão líquida).

Resposta

347\\ \mathrm{W/m^{2}}

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