As superfícies interna e externa e uma parede de tijolos de 4 \mathrm{~m} \times 7 \mathrm{me} 30 \mathrm{~cm} de espessura são mantidas em temperaturas de 35^{\circ} \mathrm{C} e 21^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. A condutividade térmica da parede é de 0,69 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). Determine a taxa de transferência de calor por meio da parede. Encontre o fluxo de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Dimensões da parede: 4\\ \mathrm{m}\times 7\\ \mathrm{m}. (Logo a área é o produto destas dimensões.)
  • Espessura (comprimento na direção da condução): 30\\ \mathrm{cm}.
  • Temperaturas das superfícies: superfície interna 35^\circ\mathrm{C} e superfície externa 21^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica: k=0,69\\ \mathrm{W/(m\;K)}.
O enunciado pede:
  1. Determinar a taxa de transferência de calor por meio da parede (potência térmica, taxa \dot{Q}, em \mathrm{W}).
  2. Encontrar o fluxo de calor (fluxo de calor por unidade de área, em \mathrm{W/m^{2}}).

Passo 2

Entendimento físico e fórmula a usar (sem jargões complicados).
Quando temos uma parede plana e a temperatura das duas superfícies é mantida constante, o calor atravessa a parede por condução. Para regime estacionário e material homogêneo a distribuição de temperatura é linear na espessura e a taxa de transferência de calor em magnitude é dada pela forma simples da lei de Fourier para uma parede plana:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}.
Explicando cada termo:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência térmica), em \mathrm{W}.
  • k é a condutividade térmica do material, em \mathrm{W/(m\;K)}.
  • A é a área através da qual o calor flui, em \mathrm{m^{2}}.
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies, em \mathrm{K} (ou ^\circ\mathrm{C}, pois diferença é a mesma).
  • L é a espessura da parede (comprimento no sentido do fluxo), em \mathrm{m}.
O fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo) \dot{q}'' é
\dot{q}''=\frac{\dot{Q}}{A}=k\,\frac{\Delta T}{L}.

Passo 3

Converter unidades e calcular parâmetros necessários.
  • Área A: produto das dimensões 4\\ \mathrm{m}\times 7\\ \mathrm{m}.
A = 4\cdot 7 = 28\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Espessura L: 30\\ \mathrm{cm}=0,30\\ \mathrm{m}. (Sempre converter cm para m dividindo por 100.)
  • Diferença de temperatura \Delta T:
\Delta T = 35^\circ\mathrm{C}-21^\circ\mathrm{C}=14\\ \mathrm{K}.
  • Verificação das unidades: k está em \mathrm{W/(m\;K)}, \Delta T em \mathrm{K}, L em \mathrm{m} e A em \mathrm{m^{2}}. Assim \dot{Q} terá unidades \mathrm{W}, consistente.

Passo 4

Calcular a taxa de transferência de calor \dot{Q} aplicando a fórmula.
Primeiro calcule o gradiente de temperatura \dfrac{\Delta T}{L}:
\frac{\Delta T}{L}=\frac{14}{0,30}=46{,}666\ldots\\ \mathrm{K/m}.
Agora calcule k\cdot A:
k\cdot A = 0,69\cdot 28 = 19{,}32\\ \mathrm{W/K}.
Finalmente:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L} = 19{,}32\cdot 46{,}666\ldots = 901{,}6\\ \mathrm{W}.
Interpretação: em magnitude, a parede transfere cerca de 901{,}6\\ \mathrm{W} do lado mais quente para o lado mais frio.

Passo 5

Calcular o fluxo de calor por unidade de área \dot{q}''.
Usando \dot{q}''=k\,\dfrac{\Delta T}{L}:
\dot{q}''=0,69\cdot 46{,}666\ldots = 32{,}2\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Alternativamente dividir \dot{Q} pela área:
\dot{q}''=\frac{901{,}6}{28}=32{,}2\\ \mathrm{W/m^{2}},
o mesmo resultado (boa checagem de consistência).

Passo 6

Observações finais (práticas para a prova e interpretação).
  • Sinal e direção: o resultado acima é magnitudinal; o calor flui do interior mais quente ( 35^\circ\mathrm{C}) para o exterior mais frio ( 21^\circ\mathrm{C}). Se quiser indicar sinal conforme convenção (positivo no sentido do fluxo do interior para o exterior), pode escrever \dot{Q}=-901{,}6\\ \mathrm{W} se a direção escolhida para o eixo x for do exterior para o interior. Na prática de curso, costuma-se reportar a magnitude e dizer a direção (do quente para o frio).
  • Hipóteses usadas: regime estacionário, material homogêneo e isotrópico, contato perfeito das superfícies (sem resistência de contato ou convecção significativa em superfícies). Se houvesse resistência por convecção, teríamos que incluir a resistência convectiva e usar analogia com resistências térmicas.
  • Dica de prova: sempre converta unidades primeiro, calcule \Delta T e A com calma, e escreva a fórmula de Fourier para escolher os termos corretos.

Resposta

\dot{Q}=901{,}6\\ \mathrm{W}
\dot{q}''=32{,}2\\ \mathrm{W/m^{2}}

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