Superfícies refratoras esféricas. Um objeto O está no eixo central de uma superfície refratora esférica. Para cada problema, a Tabela 34-5 mostra o índice de refração n_{1} do meio em que se encontra o objeto, (a) o índice de refração n_{2} do outro lado da superfície refratora, (b) a distância do objeto p, (c) o raio de curvatura r da superfície \mathrm{e}(\mathrm{d}) a distância da imagem i. (Todas as distâncias estão em centímetros.) Determine os dados que faltam, incluindo (e) determine se a imagem é real ® ou virtual (V) e (f) se a imagem fica do mesmo lado da superfície que o objeto O(\mathrm{M}) ou do lado oposto (O).
\frac{n_{1}}{p}+\frac{n_{2}}{i}=\frac{n_{2}-n_{1}}{r}
SUPERFICIE REFRATORA ESFÉRICA
\begin{aligned} & n_{1}: 1,5 \\\ & n_{2}: 1,0 \\\ & p:+70 \mathrm{~cm} \\\ & r:+30 \mathrm{~cm} \\\ & i: \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que, dada uma superfície refratora esférica com um objeto O no eixo, eu determine a distância da imagem i e, a partir disso, (e) se a imagem é real ® ou virtual (V) e (f) se a imagem fica do mesmo lado da superfície que o objeto (M) ou do lado oposto (O). As informações fornecidas são:
n_{1}=1{,}5,
n_{2}=1{,}0,
p=+70\\ \text{cm},
r=+30\\ \text{cm},
e a fórmula que relaciona tudo é
\frac{n_{1}}{p}+\frac{n_{2}}{i}=\frac{n_{2}-n_{1}}{r}.
Nada mais foi pedido além de encontrar i, classificar a imagem como real ou virtual e dizer de que lado da superfície ela fica em relação ao objeto.

Passo 2

Vamos entender a fórmula dada e o que cada termo significa (aqui eu explico como usar isso numa prova):
  • n_{1} é o índice de refração do meio onde está o objeto (o meio de onde vêm os raios);
  • n_{2} é o índice do meio do outro lado da superfície (o meio para onde os raios vão);
  • p é a distância do objeto até a superfície refratora; por convenção usada aqui, p>0 se o objeto está no lado de onde vêm os raios (lado incidente);
  • r é o raio de curvatura da superfície; por convenção, r>0 se o centro de curvatura está do lado para o qual os raios saem (lado refratado);
  • i é a distância da imagem até a superfície; i>0 significa imagem do lado refratado (oposto ao objeto), i<0 significa imagem do mesmo lado que o objeto.
    A fórmula
\frac{n_{1}}{p}+\frac{n_{2}}{i}=\frac{n_{2}-n_{1}}{r}
vem da condição de descontinuidade do potencial óptico na superfície esférica — na prova você normalmente a aplica isolando i.

Passo 3

Isolamos \dfrac{n_{2}}{i} para depois achar i. A manipulação algébrica é:
\frac{n_{2}}{i}=\frac{n_{2}-n_{1}}{r}-\frac{n_{1}}{p}.
Então
i=\frac{n_{2}}{\dfrac{n_{2}-n_{1}}{r}-\dfrac{n_{1}}{p}}.
No momento da prova, basta memorizar esse isolamento ou fazê-lo calmamente como fiz agora.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos, com calma e em etapas para evitar erros:
\frac{n_{2}-n_{1}}{r}=\frac{1{,}0-1{,}5}{30}=\frac{-0{,}5}{30}.
É mais prático transformar em fração comum para exatidão:
\frac{-0{,}5}{30}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{30}=-\frac{1}{60}.

Passo 5

Calculemos agora \dfrac{n_{1}}{p}:
\frac{n_{1}}{p}=\frac{1{,}5}{70}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{70}=\frac{3}{140}.
Para subtrair os termos do denominador, passo a passo: precisamos de um denominador comum. Usando o mínimo múltiplo comum 420,
-\frac{1}{60}=-\frac{7}{420},\qquad \frac{3}{140}=\frac{9}{420}.
Logo
\frac{n_{2}-n_{1}}{r}-\frac{n_{1}}{p}=-\frac{7}{420}-\frac{9}{420}=-\frac{16}{420}.
Simplificando -\dfrac{16}{420} divide-se por 4:
-\frac{16}{420}=-\frac{4}{105}.

Passo 6

Agora substituímos no expressão para i:
i=\frac{n_{2}}{-\dfrac{4}{105}}=\frac{1{,}0}{-\dfrac{4}{105}}.
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
i=1{,}0\cdot\left(-\frac{105}{4}\right)=-\frac{105}{4}=-26{,}25\\ \text{cm}.
Portanto, numericamente, \;i=-26{,}25\\ \text{cm}.

Passo 7

Interpretação física e classificação (isso é importante para responder (e) e (f) numa prova):
  • O sinal de i que usamos aqui indica o lado da imagem: i<0 significa que a imagem aparece no mesmo lado da superfície que o objeto (lado incidente); i>0 significaria que a imagem está do lado oposto (lado refratado). Como obtemos i=-26{,}25\\ \text{cm}, a imagem está do mesmo lado da superfície que o objeto. Logo a resposta para (f) é M (mesmo lado).
  • Quanto a ser real ou virtual: uma imagem que aparece no mesmo lado do objeto para um sistema em que os raios emergentes divergem (como aqui, já que n_{1}>n_{2} e o resultado foi i<0) é uma imagem virtual — os raios não se cruzam de fato do lado onde “parece” a imagem, ela é formada pelo prolongamento dos raios. Portanto a imagem é virtual, resposta (e) = V.
  • Resumo físico rápido: luz sai de um meio mais refringente ( n_{1}=1{,}5) para um menos refringente ( n_{2}=1{,}0) através de uma superfície convexa (centro do lado refratado, r>0); isso tende a fazer os raios emergirem divergentes, gerando uma imagem virtual do lado do objeto — consistente com o i<0 que calculamos.

Resposta

i=-26{,}25\\ \text{cm}
V
M

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