Um corpo sólido de massa \mathrm{m}=42,0 \mathrm{~g} apresenta uma massa aparente de m_{a}=36,5 g quando submerso em água. Depois, quando submerso em outro líquido desconhecido, sua massa aparente é m_{a}^{\prime}=38 \mathrm{~g}. Adote \rho_{H 2 O}=1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
a) Determine o volume e a densidade do sólido.
b) Determine a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostre, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discuta o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se \rho_{\text {sólido }}<\rho_{\text {líquido }}óí.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas (vou listar tudo claramente):
Dados:
\;m=42,0\\ \mathrm{g} (massa do corpo)
\;m_{a}=36,5\\ \mathrm{g} (massa aparente quando submerso em água)
\;m_{a}^{\prime}=38,0\\ \mathrm{g} (massa aparente quando submerso no líquido desconhecido)
\;\rho_{H_2O}=1,00\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 (densidade da água)
Perguntas:
a) Determinar o volume e a densidade do sólido.
b) Determinar a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostrar, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discutir o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se \rho_{\text{sólido}}<\rho_{\text{líquido}}óí.
Observação: nada mais será assumido além dos dados acima; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica (aula rápida e prática).
  • Arquimedes: o empuxo E sobre um corpo totalmente imerso num fluido de densidade \rho_f é igual ao peso do fluido deslocado:
E=\rho_f V g
onde \;V é o volume do corpo (em \mathrm{cm}^3 aqui) e g é a aceleração da gravidade.
  • Peso do corpo:
P=m g.
  • Se o corpo está suspenso por uma balança de tração (ou corda) dentro do fluido em equilibrio (sem acelerar), as forças verticais somam zero. Tomando tensão da balança como T para cima, temos:
T+E-P=0 \quad\Rightarrow\quad T=P-E.
  • A balança de massa nos dá a “massa aparente” m_a tal que T=m_a g. Substituindo T obtemos a relação útil (g cancela):
m_a = m - \rho_f V.
Esta fórmula diz: massa aparente = massa real menos a massa do fluido deslocado. Aqui todas as massas estão em \mathrm{g} e \rho_f em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, então V fica em \mathrm{cm}^3. Muito prático para prova, porque não precisamos de g.

Passo 3

Usar a fórmula para achar o volume do sólido (parte a).
Da relação \;m_a = m - \rho_f V, tomando o caso em água com \rho_f=\rho_{H_2O}=1,00\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, isolamos V:
V=\frac{m-m_a}{\rho_{H_2O}}.
Substituindo os valores (todos em \mathrm{g} e \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3):
V=\frac{42,0-36,5}{1,00}=\frac{5,5}{1,00}=5,5\\ \mathrm{cm}^3.
Então o volume do sólido é \;5,5\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Calcular a densidade do sólido (continuação da parte a).
Definição de densidade do sólido:
\rho_{\text{sólido}}=\frac{m}{V},ó
onde \;m está em \mathrm{g} e V em \mathrm{cm}^3. Substituindo:
\rho_{\text{sólido}}=\frac{42,0}{5,5}=7,63636\ldots\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.ó
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
\rho_{\text{sólido}}=7,64\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.ó

Passo 5

Determinar a densidade do líquido desconhecido (parte b).
Usamos a mesma relação \;m_a' = m - \rho_{\text{líq}} Ví. Isolando \rho_{\text{líq}}í:
\rho_{\text{líq}}=\frac{m-m_a'}{V}.í
Substituindo m=42,0\\ \mathrm{g}, m_a'=38,0\\ \mathrm{g} e V=5,5\\ \mathrm{cm}^3:
\rho_{\text{líq}}=\frac{42,0-38,0}{5,5}=\frac{4,0}{5,5}=0,727272\ldots\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.í
Arredondando para três algarismos significativos:
\rho_{\text{líq}}=0,727\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.í

Passo 6

Mostrar passo a passo o equilíbrio de forças nas duas medições (parte c). Vou escrever as equações gerais e depois os valores numéricos (uso a notação “massa-equivalente” do empuxo, que é prático em provas porque o fator g cancela).
Equações gerais:
Peso do corpo: \;P=m g.
Empuxo: \;E=\rho_f V g.
Tensão medida pela balança: \;T=m_a g.
Equilíbrio vertical: \;T+E-P=0\Rightarrow T=P-E.
Caso 1 — imerso em água ( \rho_f=1,00\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, m_a=36,5\\ \mathrm{g}):
  • Massa-equivalente do peso: m=42,0\\ \mathrm{g} (isto é, P=42,0\cdot g).
  • Massa-equivalente do empuxo: m_{\text{eq,empuxo}}=m-m_a=42,0-36,5=5,5\\ \mathrm{g}. Isto corresponde a E=5,5\cdot g (ou, se preferir em N, multiplicar por g). Note que isso coincide com \rho_{H_2O}V=1,00\times5,5=5,5\\ \mathrm{g}.
  • Tensão: T=m_a g=36,5\cdot g. Verificação do equilíbrio: T+E=(36,5\cdot g)+(5,5\cdot g)=42,0\cdot g=P. Está confirmado.
Caso 2 — imerso no líquido desconhecido ( \rho_f=\rho_{\text{líq}}=0,727\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3í, m_a'=38,0\\ \mathrm{g}):
  • Massa-equivalente do empuxo: m-m_a'=42,0-38,0=4,0\\ \mathrm{g}. Isto é E=4,0\cdot g. Note que \rho_{\text{líq}}V=0,727\times5,5\approx4,0\\ \mathrm{g}í, consistente.
  • Tensão: T'=m_a' g=38,0\cdot g. Verificação: T'+E=(38,0\cdot g)+(4,0\cdot g)=42,0\cdot g=P. Também confirmado.
Comentário prático: na prova você pode sempre trabalhar com essas “massas-equivalentes” (m, m_a, m-m_a) porque o g aparece em todos os termos e se cancela nas relações de massa; só converta para newtons se pedirem força em SI.

Passo 7

Discussão do que ocorre com a leitura de uma balança de tração se \rho_{\text{sólido}}<\rho_{\text{líquido}}óí (parte d). Vou explicar os dois cenários possíveis, com linguagem direta e mentalidade de prova:
  1. Se o corpo puder mover-se livremente (não for forçado a ficar totalmente submerso), então como \rho_{\text{sólido}}<\rho_{\text{líquido}}óí o empuxo máximo quando totalmente submerso, E_{\text{max}}=\rho_{\text{líq}}Vgí, será maior que o peso P=\rho_{\text{sólido}}Vgó. Assim o corpo tende a subir e ficará flutuando parcialmente submerso até que o empuxo (da parte submersa) iguale o peso. Enquanto flutua parcialmente submerso, se a balança de tração estiver presa ao corpo, a corda ficará frouxa e a leitura da balança será zero (ou próxima de zero) porque não há tensão na corda. Conclusão prática: a leitura cai para zero quando o objeto se solta e flutua.
  2. Se alguém força o corpo para mantê‑lo totalmente submerso (ou seja, segura o objeto com a balança impedindo‑o de emergir), então a balança terá de exercer uma força para baixo para equilibrar o excesso de empuxo. Nas equações: T=P-E. Se E>P então T seria numericamente negativo — isso significa que para manter o objeto submerso a balança precisa “puxar para baixo” com módulo E-P. Na prática uma balança de tração mede a magnitude da força que você aplica; para manter o corpo submerso ela registrará um valor igual a E-P (direção para baixo), ou seja, a leitura será igual à diferença entre empuxo e peso.
    Resumindo em uma frase curta: se o objeto fica livre, a balança indica zero (corda frouxa); se você o força a ficar submerso, a balança indica a diferença E-P (valor positivo, correspondente à força que você aplica para mantê‑lo para baixo).

Resposta

(a) V=5,5\\ \mathrm{cm}^3 ; \rho_{\text{sólido}}=7,64\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3ó
(b) \rho_{\text{líquido}}=0,727\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3í
(c) Em geral T+E-P=0 com T=m_a g, P=m g, E=\rho_f V g. Para água: E=(42,0-36,5)g=5,5g, T=36,5g, e T+E=42,0g. Para o líquido: E=(42,0-38,0)g=4,0g, T=38,0g, e T+E=42,0g.
(d) Se \rho_{\text{sólido}}<\rho_{\text{líquido}}óí: se o corpo puder subir livremente, a balança registra zero (corda frouxa) porque o objeto flutua parcialmente submerso; se o corpo for forçado a ficar totalmente submerso, a balança registrará uma força igual a E-P (o empuxo líquido para cima), correspondente à força que é necessário aplicar para mantê‑lo submerso.

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