Um corpo sólido de massa
apresenta uma massa aparente de
quando submerso em água. Depois, quando submerso em outro líquido desconhecido, sua massa aparente é
. Adote
.
a) Determine o volume e a densidade do sólido.
b) Determine a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostre, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discuta o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se
.
a) Determine o volume e a densidade do sólido.
b) Determine a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostre, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discuta o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas (vou listar tudo claramente):
Dados:
(massa do corpo)
(massa aparente quando submerso em água)
(massa aparente quando submerso no líquido desconhecido)
(densidade da água)
Dados:
Perguntas:
a) Determinar o volume e a densidade do sólido.
b) Determinar a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostrar, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discutir o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se .
a) Determinar o volume e a densidade do sólido.
b) Determinar a densidade do líquido desconhecido.
c) Mostrar, passo a passo, como as forças de empuxo e peso se equilibram nas duas medições.
d) Discutir o que ocorreria com a leitura de uma balança de tração se
Observação: nada mais será assumido além dos dados acima; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Princípio físico e fórmula básica (aula rápida e prática).
- Arquimedes: o empuxo
sobre um corpo totalmente imerso num fluido de densidade é igual ao peso do fluido deslocado:
onde
é o volume do corpo (em
aqui) e
é a aceleração da gravidade.
- Peso do corpo:
- Se o corpo está suspenso por uma balança de tração (ou corda) dentro do fluido em equilibrio (sem acelerar), as forças verticais somam zero. Tomando tensão da balança como
para cima, temos:
- A balança de massa nos dá a “massa aparente”
tal que . Substituindo obtemos a relação útil (g cancela):
Esta fórmula diz: massa aparente = massa real menos a massa do fluido deslocado. Aqui todas as massas estão em
e
em
, então
fica em
. Muito prático para prova, porque não precisamos de
.
Passo 3
Usar a fórmula para achar o volume do sólido (parte a).
Da relação , tomando o caso em água com
, isolamos
:
Da relação
Substituindo os valores (todos em
e
):
Então o volume do sólido é
.
Passo 4
Calcular a densidade do sólido (continuação da parte a).
Definição de densidade do sólido:
Definição de densidade do sólido:
onde
está em
e
em
. Substituindo:
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados):
Passo 5
Determinar a densidade do líquido desconhecido (parte b).
Usamos a mesma relação . Isolando
:
Usamos a mesma relação
Substituindo
,
e
:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Mostrar passo a passo o equilíbrio de forças nas duas medições (parte c). Vou escrever as equações gerais e depois os valores numéricos (uso a notação “massa-equivalente” do empuxo, que é prático em provas porque o fator
cancela).
Equações gerais:
Peso do corpo: .
Empuxo: .
Tensão medida pela balança: .
Equilíbrio vertical: .
Equações gerais:
Peso do corpo:
Empuxo:
Tensão medida pela balança:
Equilíbrio vertical:
Caso 1 — imerso em água (
,
):
- Massa-equivalente do peso:
(isto é, ). - Massa-equivalente do empuxo:
. Isto corresponde a (ou, se preferir em N, multiplicar por ). Note que isso coincide com . - Tensão:
. Verificação do equilíbrio: . Está confirmado.
Caso 2 — imerso no líquido desconhecido (
,
):
- Massa-equivalente do empuxo:
. Isto é . Note que , consistente. - Tensão:
. Verificação: . Também confirmado.
Comentário prático: na prova você pode sempre trabalhar com essas “massas-equivalentes”
porque o
aparece em todos os termos e se cancela nas relações de massa; só converta para newtons se pedirem força em SI.
Passo 7
Discussão do que ocorre com a leitura de uma balança de tração se
(parte d). Vou explicar os dois cenários possíveis, com linguagem direta e mentalidade de prova:
-
Se o corpo puder mover-se livremente (não for forçado a ficar totalmente submerso), então como
o empuxo máximo quando totalmente submerso, , será maior que o peso . Assim o corpo tende a subir e ficará flutuando parcialmente submerso até que o empuxo (da parte submersa) iguale o peso. Enquanto flutua parcialmente submerso, se a balança de tração estiver presa ao corpo, a corda ficará frouxa e a leitura da balança será zero (ou próxima de zero) porque não há tensão na corda. Conclusão prática: a leitura cai para zero quando o objeto se solta e flutua. -
Se alguém força o corpo para mantê‑lo totalmente submerso (ou seja, segura o objeto com a balança impedindo‑o de emergir), então a balança terá de exercer uma força para baixo para equilibrar o excesso de empuxo. Nas equações:
. Se então seria numericamente negativo — isso significa que para manter o objeto submerso a balança precisa “puxar para baixo” com módulo . Na prática uma balança de tração mede a magnitude da força que você aplica; para manter o corpo submerso ela registrará um valor igual a (direção para baixo), ou seja, a leitura será igual à diferença entre empuxo e peso.
Resumindo em uma frase curta: se o objeto fica livre, a balança indica zero (corda frouxa); se você o força a ficar submerso, a balança indica a diferença(valor positivo, correspondente à força que você aplica para mantê‑lo para baixo).
Resposta
(a)
;
(b)
(c) Em geral com
,
,
. Para água:
,
, e
. Para o líquido:
,
, e
.
(d) Se : se o corpo puder subir livremente, a balança registra zero (corda frouxa) porque o objeto flutua parcialmente submerso; se o corpo for forçado a ficar totalmente submerso, a balança registrará uma força igual a
(o empuxo líquido para cima), correspondente à força que é necessário aplicar para mantê‑lo submerso.
(b)
(c) Em geral
(d) Se