Dois discos de Maxwell, A e B, giram em sentidos opostos em torno do mesmo eixo vertical sem atrito. O disco A gira com velocidade angular \omega_{A}=25 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e o B \operatorname{com} \omega_{B}=-20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Em um instante, o disco A é liberado e adere totalmente ao disco B (colisão plástica rotacional).
a) Determine a velocidade angular final \omega_{f} do conjunto após a colisão (A e B idênticas).
b) Calcule a variação relativa da energia cinética rotacional \Delta \mathrm{E} / E_{i}.
c) Explique por que o momento angular total se conserva, embora a energia cinética rotacional não se conserve.
d) Considere agora que o raio do disco A seja duas vezes maior que o do disco B , e que a massa do disco A seja 10 vezes menor que a do disco B. Refaça (a) e (b) e discuta a influência de I_{A} \neq I_{B}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
  • Dois discos de Maxwell A e B giram em torno do mesmo eixo vertical sem atrito no eixo. Em um instante o disco A é solto e adere totalmente ao disco B (colisão plástica rotacional).
  • Velocidades angulares iniciais: \omega_{A}=25\\ \mathrm{rad/s} e \omega_{B}=-20\\ \mathrm{rad/s}. Note que os sinais opostos indicam sentidos de rotação opostos.
  • Caso (a) e (b): os discos são idênticos (mesma massa e mesmo raio).
    a) Determinar a velocidade angular final \omega_{f} após aderirem.
    b) Calcular a variação relativa da energia cinética rotacional \Delta E / E_{i}.
    c) Explicar por que o momento angular total se conserva enquanto a energia cinética rotacional não se conserva.
  • Caso (d): agora r_{A}=2\,r_{B} e m_{A}=0{,}1\,m_{B}. Refazer (a) e (b) e discutir a influência de I_{A}\neq I_{B}.
Não resolvo nada aqui; só enumerei os dados e o que se pede.

Passo 2

Ferramentas físicas e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
  • Momento de inércia de um disco homogêneo de massa m e raio r:
I=\frac{1}{2}m r^{2}.
Explicação: I é a “resistência” do corpo a mudar sua rotação; quanto maior a massa e quanto mais longe a massa está do eixo (maior r), maior I.
  • Momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo:
L = I\,\omega,
onde L é o momento angular (vetorial) e \omega a velocidade angular. Para rotações em torno do mesmo eixo podemos tratar sinais escalares: sentido positivo/negativo.
  • Energia cinética rotacional de um corpo rígido:
E_\text{rot}=\frac{1}{2}I\,\omega^{2}.
Explicação: é análoga à energia translacional \tfrac{1}{2}mv^{2}, mas usando I e \omega.
  • Conservação do momento angular: se não há torque externo resultante sobre o sistema (aqui o eixo é “sem atrito” e a interação entre A e B é interna), o momento angular total do sistema antes e depois do evento é o mesmo:
L_\text{total, i}=L_\text{total, f}.
  • Em colisões plásticas (aderência) há dissipação de energia mecânica (vai para calor, som, deformação interna). Por isso não se espera conservação da energia cinética rotacional.

Passo 3

Equação geral para \omega_{f} usando conservação do momento angular (derivação passo a passo):
  • Momento angular inicial do sistema:
L_{i}=I_{A}\,\omega_{A}+I_{B}\,\omega_{B}.
  • Momento angular final, quando os dois discos giram solidariamente com \omega_{f}:
L_{f}=(I_{A}+I_{B})\,\omega_{f}.
  • Igualando L_{i}=L_{f} e isolando \omega_{f}:
\omega_{f}=\frac{I_{A}\,\omega_{A}+I_{B}\,\omega_{B}}{I_{A}+I_{B}}.
Explicação: é uma média ponderada das velocidades angulares iniciais, ponderada pelos momentos de inércia.

Passo 4

Resolução do item (a): discos idênticos ( I_{A}=I_{B}=I).
  • Substituindo I_A=I_B=I na fórmula:
\omega_{f}=\frac{I\,\omega_{A}+I\,\omega_{B}}{I+I}=\frac{\omega_{A}+\omega_{B}}{2}.
  • Agora substituindo os valores numéricos \omega_{A}=25 e \omega_{B}=-20:
\omega_{f}=\frac{25+(-20)}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: o conjunto gira no sentido do disco A (sinal positivo), com velocidade final 2{,}5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Resolução do item (b): variação relativa da energia cinética rotacional para discos idênticos.
  • Energia inicial:
E_{i}=\frac{1}{2}I_{A}\omega_{A}^{2}+\frac{1}{2}I_{B}\omega_{B}^{2} =\frac{1}{2}I(\omega_{A}^{2}+\omega_{B}^{2}).
  • Energia final (ambos unidos com momento de inércia 2I):
E_{f}=\frac{1}{2}(I_{A}+I_{B})\omega_{f}^{2}=\frac{1}{2}(2I)\omega_{f}^{2}=I\,\omega_{f}^{2}.
  • Substituindo \omega_{f}=2{,}5:
E_{f}=I\,(2{,}5)^{2}=I\cdot 6{,}25.
  • Calcule E_{i} numericamente em função de I:
E_{i}=\frac{1}{2}I(25^{2}+(-20)^{2})=\frac{1}{2}I(625+400)=\frac{1}{2}I\cdot 1025=512{,}5\,I.
  • Variação relativa:
\frac{\Delta E}{E_{i}}=\frac{E_{f}-E_{i}}{E_{i}}=\frac{6{,}25\,I-512{,}5\,I}{512{,}5\,I}=\frac{-506{,}25}{512{,}5}\approx -0{,}9878.
  • Em porcentagem, isso é cerca de -98{,}78\%: quase toda a energia cinética rotacional inicial foi dissipada no processo de aderência.
Comentário didático: embora o momento angular se conserve, as velocidades em sentidos opostos fazem com que grande parte da energia cinética inicial “se anule” e seja transformada em energia interna (calor, som) quando os discos colidem e grudam.

Passo 6

Resposta e explicação do item (c) — por que L se conserva e E_\text{rot} não:
  • Conservação do momento angular: as únicas forças que atuam durante o contato são internas entre os discos e as reações no eixo (que é sem atrito). Como não há torque externo resultante sobre o conjunto, o momento angular total do sistema permanece constante: L_{i}=L_{f}.
  • Não conservação da energia cinética rotacional: a colisão é plástica (aderência), então há dissipação de energia mecânica por atrito relativo, deformações e aquecimento local — processos irreversíveis que transformam energia cinética em outras formas (energia interna, som). A conservação de momento angular não implica conservação de energia quando há forças dissipativas internas.
Analogias simples: é como uma colisão plástica de duas massas em linha: a quantidade de movimento (momento linear) se conserva, mas energia cinética se perde em calor e deformação.

Passo 7

Início da parte (d): dados e cálculo dos momentos de inércia quando r_{A}=2r_{B} e m_{A}=0{,}1\,m_{B}.
  • Seja m_{B}=M e r_{B}=r. Então m_{A}=0{,}1M e r_{A}=2r.
  • Momento de inércia do disco A:
I_{A}=\frac{1}{2}m_{A}r_{A}^{2}=\frac{1}{2}(0{,}1M)(2r)^{2}=\frac{1}{2}\cdot 0{,}1M\cdot 4r^{2}=0{,}2\,M r^{2}.
  • Momento de inércia do disco B:
I_{B}=\frac{1}{2}M r^{2}=0{,}5\,M r^{2}.
  • Relação entre eles:
\frac{I_{A}}{I_{B}}=\frac{0{,}2\,M r^{2}}{0{,}5\,M r^{2}}=0{,}4,
ou seja I_{A}=0{,}4\,I_{B}. Para simplificar cálculos tomamos I_{B}=I, então I_{A}=0{,}4I e I_{A}+I_{B}=1{,}4I.

Passo 8

Resolver (a) do item (d): calcular \omega_{f} com I_{A}=0{,}4I e I_{B}=I.
  • Usando a fórmula geral:
\omega_{f}=\frac{I_{A}\omega_{A}+I_{B}\omega_{B}}{I_{A}+I_{B}} =\frac{0{,}4I\cdot 25 + I\cdot(-20)}{1{,}4I}.
  • Numerador: 0{,}4\cdot 25 + (-20)=10-20=-10. Portanto
\omega_{f}=\frac{-10}{1{,}4}=-7{,}142857\\ \mathrm{rad/s}\approx -7{,}143\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o sentido de rotação final é o do disco B (o disco B, por ter maior momento de inércia, “vence” e leva o conjunto a girar no seu sentido).

Passo 9

Resolver (b) do item (d): energias e variação relativa.
  • Energia inicial:
E_{i}=\frac{1}{2}I_{A}\omega_{A}^{2}+\frac{1}{2}I_{B}\omega_{B}^{2} =\frac{1}{2}I\big(0{,}4\cdot 25^{2}+1\cdot 20^{2}\big).
Calculemos os termos: 0{,}4\cdot 25^{2}=0{,}4\cdot 625=250 e 20^{2}=400. Assim
E_{i}=\frac{1}{2}I(250+400)=\frac{1}{2}I\cdot 650=325\,I.
  • Energia final (momento de inércia total 1{,}4I e \omega_{f}=-10/1{,}4):
E_{f}=\frac{1}{2}(I_{A}+I_{B})\omega_{f}^{2}=\frac{1}{2}(1{,}4I)\left(\frac{10}{1{,}4}\right)^{2}.
Calculando:
\left(\frac{10}{1{,}4}\right)^{2}=\frac{100}{1{,}96}\approx 51{,}020408,
então
E_{f}=0{,}7I\cdot 51{,}020408\approx 35{,}7142857\,I.
  • Variação relativa:
\frac{\Delta E}{E_{i}}=\frac{E_{f}-E_{i}}{E_{i}}=\frac{35{,}7142857\,I-325\,I}{325\,I}\approx\frac{-289{,}2857143}{325}\approx -0{,}8909.
Ou seja, \Delta E/E_{i}\approx -0{,}8909 (aprox. -89{,}09\%). Ainda há grande perda de energia, mas menor que no caso de discos idênticos.

Passo 10

Discussão final sobre a influência de I_{A}\neq I_{B} (didática e intuição):
  • O momento de inércia atua como “peso” na média ponderada que determina \omega_{f}. Quando I_{A} é menor que I_{B}, o disco A (mesmo com alta velocidade) influencia menos o resultado final; o disco com maior I domina a rotação final.
  • Na parte (d) vimos isso: apesar de A girar mais rápido ( 25 rad/s), como seu I é menor ( 0{,}4I), o conjunto acaba girando no sentido de B com -7{,}143 rad/s.
  • Quanto à energia, quando os momentos são muito diferentes, menos energia inicial é “cancelada” por rotações opostas, então a fração de energia perdida pode diminuir em comparação com o caso simétrico — depende dos valores numéricos. Aqui a perda caiu de cerca de 98{,}78\% (caso idêntico) para cerca de 89{,}09\% (caso com I_A=0{,}4I_B).
  • Resumindo: moment of inertia determina quem “imprime” o sentido/valor final da rotação; diferenças em I mudam \omega_{f} e a fração de energia dissipada.

Resposta

(a) \omega_{f}=2{,}5\\ \mathrm{rad/s}.\n
(b) \displaystyle \frac{\Delta E}{E_{i}}\approx -0{,}9878 (perda de cerca de 98{,}78\% da energia rotacional).\n
(c) O momento angular total se conserva porque não há torque externo resultante sobre o sistema; a energia cinética rotacional não se conserva porque a colisão é plástica: energia mecânica é dissipada em calor, som e deformações internas durante a aderência.\n
(d) Com r_{A}=2r_{B} e m_{A}=0{,}1m_{B} obtemos I_{A}=0{,}4I_{B}; então \omega_{f}=-7{,}142857\\ \mathrm{rad/s} (aprox. -7{,}143\\ \mathrm{rad/s}) e \displaystyle \frac{\Delta E}{E_{i}\,}\approx -0{,}8909 (perda de cerca de 89{,}09\%). A diferença de I faz com que o disco com maior momento de inércia domine o resultado final e reduza (relativamente) a energia perdida em relação ao caso simétrico.

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