Dois discos de Maxwell,
e
, giram em sentidos opostos em torno do mesmo eixo vertical sem atrito. O disco
gira com velocidade angular
e o
. Em um instante, o disco
é liberado e adere totalmente ao disco
(colisão plástica rotacional).
a) Determine a velocidade angular final
do conjunto após a colisão (A e B idênticas).
b) Calcule a variação relativa da energia cinética rotacional
.
c) Explique por que o momento angular total se conserva, embora a energia cinética rotacional não se conserve.
d) Considere agora que o raio do disco
seja duas vezes maior que o do disco B , e que a massa do disco A seja 10 vezes menor que a do disco B. Refaça (a) e (b) e discuta a influência de
.
a) Determine a velocidade angular final
b) Calcule a variação relativa da energia cinética rotacional
c) Explique por que o momento angular total se conserva, embora a energia cinética rotacional não se conserve.
d) Considere agora que o raio do disco
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
- Dois discos de Maxwell
e giram em torno do mesmo eixo vertical sem atrito no eixo. Em um instante o disco é solto e adere totalmente ao disco (colisão plástica rotacional). - Velocidades angulares iniciais:
e . Note que os sinais opostos indicam sentidos de rotação opostos. - Caso (a) e (b): os discos são idênticos (mesma massa e mesmo raio).
a) Determinar a velocidade angular finalapós aderirem.
b) Calcular a variação relativa da energia cinética rotacional.
c) Explicar por que o momento angular total se conserva enquanto a energia cinética rotacional não se conserva. - Caso (d): agora
e . Refazer (a) e (b) e discutir a influência de .
Não resolvo nada aqui; só enumerei os dados e o que se pede.
Passo 2
Ferramentas físicas e fórmulas que vamos usar (com explicação didática):
- Momento de inércia de um disco homogêneo de massa
e raio :
Explicação:
é a “resistência” do corpo a mudar sua rotação; quanto maior a massa e quanto mais longe a massa está do eixo (maior
), maior
.
- Momento angular de um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo:
onde
é o momento angular (vetorial) e
a velocidade angular. Para rotações em torno do mesmo eixo podemos tratar sinais escalares: sentido positivo/negativo.
- Energia cinética rotacional de um corpo rígido:
Explicação: é análoga à energia translacional
, mas usando
e
.
- Conservação do momento angular: se não há torque externo resultante sobre o sistema (aqui o eixo é “sem atrito” e a interação entre A e B é interna), o momento angular total do sistema antes e depois do evento é o mesmo:
- Em colisões plásticas (aderência) há dissipação de energia mecânica (vai para calor, som, deformação interna). Por isso não se espera conservação da energia cinética rotacional.
Passo 3
Equação geral para
usando conservação do momento angular (derivação passo a passo):
- Momento angular inicial do sistema:
- Momento angular final, quando os dois discos giram solidariamente com
:
- Igualando
e isolando :
Explicação: é uma média ponderada das velocidades angulares iniciais, ponderada pelos momentos de inércia.
Passo 4
Resolução do item (a): discos idênticos (
).
- Substituindo
na fórmula:
- Agora substituindo os valores numéricos
e :
Interpretação: o conjunto gira no sentido do disco
(sinal positivo), com velocidade final
.
Passo 5
Resolução do item (b): variação relativa da energia cinética rotacional para discos idênticos.
- Energia inicial:
- Energia final (ambos unidos com momento de inércia
):
- Substituindo
:
- Calcule
numericamente em função de :
- Variação relativa:
- Em porcentagem, isso é cerca de
: quase toda a energia cinética rotacional inicial foi dissipada no processo de aderência.
Comentário didático: embora o momento angular se conserve, as velocidades em sentidos opostos fazem com que grande parte da energia cinética inicial “se anule” e seja transformada em energia interna (calor, som) quando os discos colidem e grudam.
Passo 6
Resposta e explicação do item (c) — por que
se conserva e
não:
-
Conservação do momento angular: as únicas forças que atuam durante o contato são internas entre os discos e as reações no eixo (que é sem atrito). Como não há torque externo resultante sobre o conjunto, o momento angular total do sistema permanece constante:
. -
Não conservação da energia cinética rotacional: a colisão é plástica (aderência), então há dissipação de energia mecânica por atrito relativo, deformações e aquecimento local — processos irreversíveis que transformam energia cinética em outras formas (energia interna, som). A conservação de momento angular não implica conservação de energia quando há forças dissipativas internas.
Analogias simples: é como uma colisão plástica de duas massas em linha: a quantidade de movimento (momento linear) se conserva, mas energia cinética se perde em calor e deformação.
Passo 7
Início da parte (d): dados e cálculo dos momentos de inércia quando
e
.
-
Seja
e . Então e . -
Momento de inércia do disco
:
- Momento de inércia do disco
:
- Relação entre eles:
ou seja
. Para simplificar cálculos tomamos
, então
e
.
Passo 8
Resolver (a) do item (d): calcular
com
e
.
- Usando a fórmula geral:
- Numerador:
. Portanto
Interpretação: o sinal negativo indica que o sentido de rotação final é o do disco
(o disco B, por ter maior momento de inércia, “vence” e leva o conjunto a girar no seu sentido).
Passo 9
Resolver (b) do item (d): energias e variação relativa.
- Energia inicial:
Calculemos os termos:
e
. Assim
- Energia final (momento de inércia total
e ):
Calculando:
então
- Variação relativa:
Ou seja,
(aprox.
). Ainda há grande perda de energia, mas menor que no caso de discos idênticos.
Passo 10
Discussão final sobre a influência de
(didática e intuição):
- O momento de inércia atua como “peso” na média ponderada que determina
. Quando é menor que , o disco (mesmo com alta velocidade) influencia menos o resultado final; o disco com maior domina a rotação final. - Na parte (d) vimos isso: apesar de
girar mais rápido ( rad/s), como seu é menor ( ), o conjunto acaba girando no sentido de com rad/s. - Quanto à energia, quando os momentos são muito diferentes, menos energia inicial é “cancelada” por rotações opostas, então a fração de energia perdida pode diminuir em comparação com o caso simétrico — depende dos valores numéricos. Aqui a perda caiu de cerca de
(caso idêntico) para cerca de (caso com ). - Resumindo: moment of inertia determina quem “imprime” o sentido/valor final da rotação; diferenças em
mudam e a fração de energia dissipada.
Resposta
(a)
\n
(b) (perda de cerca de
da energia rotacional).\n
(c) O momento angular total se conserva porque não há torque externo resultante sobre o sistema; a energia cinética rotacional não se conserva porque a colisão é plástica: energia mecânica é dissipada em calor, som e deformações internas durante a aderência.\n
(d) Com e
obtemos
; então
(aprox.
) e
(perda de cerca de
). A diferença de
faz com que o disco com maior momento de inércia domine o resultado final e reduza (relativamente) a energia perdida em relação ao caso simétrico.
(b)
(c) O momento angular total se conserva porque não há torque externo resultante sobre o sistema; a energia cinética rotacional não se conserva porque a colisão é plástica: energia mecânica é dissipada em calor, som e deformações internas durante a aderência.\n
(d) Com