Num supermercado há 2000 lâmpadas, provenientes de 3 fábricas distintas X, Y e Z. X produziu 500, das quais 400 boas. Y produziu 700, das quais 600 boas e Z as restantes, das quais 500 boas. Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade de que
a) seja boa? 3 / 4
b) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por X ? 1/5

Passo 1

O enunciado trata de probabilidade total e probabilidade condicional. Temos um total de 2000 lâmpadas, sendo:
\begin{aligned} &\text{Fábrica \(X\): }500\text{ produzidas, }400\text{ boas, }100\text{ defeituosas},\\ &\text{Fábrica \(Y\): }700\text{ produzidas, }600\text{ boas, }100\text{ defeituosas},\\ &\text{Fábrica \(Z\): }800\text{ produzidas, }500\text{ boas, }300\text{ defeituosas}. \end{aligned}ááá
Vamos usar essas informações para (a) achar a probabilidade de a lâmpada ser boa e (b) aplicar a definição de probabilidade condicional para achar \Pr(X\mid\text{defeituosa}).

Passo 2

Para (a), calculamos o número total de lâmpadas boas:
400 + 600 + 500 = 1500.
Como há 2000 lâmpadas no total, a probabilidade de sortear uma lâmpada boa é
\Pr(\text{boa}) = \frac{1500}{2000} = \frac{3}{4}.

Passo 3

Para (b), primeiro achamos a probabilidade de sortear uma lâmpada defeituosa:
100 + 100 + 300 = 500 \quad\Longrightarrow\quad \Pr(\text{defeituosa}) = \frac{500}{2000} = \frac{1}{4}.
A probabilidade conjunta de escolher uma lâmpada defeituosa vinda de X é
\Pr(X\\ \text{e}\\ \text{defeituosa}) = \frac{100}{2000}.
Logo, pela definição de probabilidade condicional,
\Pr\bigl(X\mid\text{defeituosa}\bigr) = \frac{\Pr(X\\ \text{e}\\ \text{defeituosa})}{\Pr(\text{defeituosa})} = \frac{\tfrac{100}{2000}}{\tfrac{500}{2000}} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}.

Resposta

(a) \dfrac{3}{4}
(b) \dfrac{1}{5}

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