Considere a integral dupla
.
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas
e
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i)
, □ ]
ii)
□ , □ ].
em que
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando
i)
ii)
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas
O que o item (a) pede é escrever
como uma única integral dupla tomando
como variável independente, ou seja:
i) determinar o intervalo de na forma
;
ii) determinar, para cada desse intervalo, o intervalo de
na forma
.
i) determinar o intervalo de
ii) determinar, para cada
Passo 2
Para transformar a região em limites do tipo
fixo e
variando, preciso:
- encontrar os pontos de interseção das duas parábolas para obter o limite superior de
; - identificar, para um
qualquer entre as interseções, qual curva fornece o limite inferior de e qual fornece o limite superior.
Passo 3
Calcular as interseções resolvendo
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo todos os termos com
para o mesmo lado:
Logo
Tomando raiz quadrada, obtemos as duas soluções
. Como a região está no primeiro quadrante, devemos tomar a raiz positiva:
Passo 4
Portanto o intervalo de
que percorre a região é
. (Inclui
porque a região começa no eixo
e termina na interseção positiva.)
Passo 5
Agora preciso saber, para um
com
, qual parabola fica abaixo e qual acima. Calculo a diferença
Para
temos
portanto a diferença é positiva. Ou seja, no intervalo considerado
é a curva superior e
é a curva inferior. Logo, para cada
em
o
varia de
até
Passo 6
Como verificação final, podemos escrever explicitamente a integral na ordem pedida:
Isto confirma os limites encontrados para
e para
.