Considere a integral dupla I=\int_{D} \int 65 x e^{y} d y d x.
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas y=\frac{13 x^{2}}{2} e y=10-10 x^{2}
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i) x \in[0, □ ]
ii) y \in[ □ , □ ].

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla I=\int_{D}\int 65x e^{y}\,dy\,dx onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas
y=\frac{13}{2}x^{2}\quad\text{e}\quad y=10-10x^{2}.
O que o item (a) pede é escrever I como uma única integral dupla tomando x como variável independente, ou seja:
i) determinar o intervalo de x na forma x\in[0,\;\Box];
ii) determinar, para cada x desse intervalo, o intervalo de y na forma y\in[\;\Box,\;\Box\;].

Passo 2

Para transformar a região em limites do tipo x fixo e y variando, preciso:
  • encontrar os pontos de interseção das duas parábolas para obter o limite superior de x;
  • identificar, para um x qualquer entre as interseções, qual curva fornece o limite inferior de y e qual fornece o limite superior.

Passo 3

Calcular as interseções resolvendo
\frac{13}{2}x^{2}=10-10x^{2}.
Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
13x^{2}=20-20x^{2}.
Passo todos os termos com x^{2} para o mesmo lado:
13x^{2}+20x^{2}=20
33x^{2}=20.
Logo
x^{2}=\frac{20}{33}.
Tomando raiz quadrada, obtemos as duas soluções x=\pm\sqrt{\dfrac{20}{33}}. Como a região está no primeiro quadrante, devemos tomar a raiz positiva:
x=\sqrt{\frac{20}{33}}.

Passo 4

Portanto o intervalo de x que percorre a região é x\in\left[0,\sqrt{\dfrac{20}{33}}\right]. (Inclui 0 porque a região começa no eixo y e termina na interseção positiva.)

Passo 5

Agora preciso saber, para um x com 0\le x\le\sqrt{\dfrac{20}{33}}, qual parabola fica abaixo e qual acima. Calculo a diferença
\big(10-10x^{2}\big)-\left(\frac{13}{2}x^{2}\right)=10-\frac{33}{2}x^{2}.
Para x^{2}<\dfrac{20}{33} temos
\frac{33}{2}x^{2}<\frac{33}{2}\cdot\frac{20}{33}=10,
portanto a diferença é positiva. Ou seja, no intervalo considerado 10-10x^{2} é a curva superior e \dfrac{13}{2}x^{2} é a curva inferior. Logo, para cada x em \left[0,\sqrt{\dfrac{20}{33}}\right] o y varia de
y=\frac{13}{2}x^{2}\quad\text{(inferior)}
até
y=10-10x^{2}\quad\text{(superior)}.

Passo 6

Como verificação final, podemos escrever explicitamente a integral na ordem pedida:
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}\left(\int_{\frac{13}{2}x^{2}}^{\,10-10x^{2}} 65x e^{y}\,dy\right)dx.
Isto confirma os limites encontrados para x e para y.

Resposta

x\in\left[0,\sqrt{\dfrac{20}{33}}\right]
y\in\left[\dfrac{13}{2}x^{2},\,10-10x^{2}\right]

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