Supondo que A é discreto, prove que se A é:
(a) fechado, então A é finito;
Passo 1
O enunciado pede: “Supondo que A é discreto, prove que se A é fechado, então A é finito.”
Informações dadas: A é um conjunto discreto (em algum espaço topológico, não especificado explicitamente). A tarefa é deduzir que a hipótese adicional "A fechado" implica que A é finito.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, com calma, o que significam as duas palavras-chave — e por que elas importam.
Definição de discreto (na linguagem mais usada): dizer que A é discreto significa que todo ponto a\in A é isolado, isto é, existe uma vizinhança aberta U_a de a tal que
U_a\cap A=\{a\}.
Intuição: ao redor de cada ponto de A dá para colocar uma bolinha que não pega mais nenhum ponto de A.
Definição de fechado: um conjunto A é fechado se o seu complemento é aberto, ou equivalentemente se A contém todos os seus pontos-limite (ou aderência \overline{A}=A).
Vou usar essas definições explicitamente ao construir exemplos e provas.
Passo 3
Antes de tentar provar a afirmação, é bom checar se ela é verdadeira em geral. Uma estratégia inteligente é testar em espaços usuais, por exemplo no espaço \mathbb{R} com a topologia usual. Vou produzir um contraexemplo: um conjunto que é discreto, fechado e infinito ao mesmo tempo. Isso mostrará que a afirmação “discreto + fechado \Rightarrow finito” não vale sem hipóteses extras sobre o espaço ambiente.
Considere
A=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R},
o conjunto dos inteiros.
Passo 4
Mostro que \mathbb{Z} é discreto em \mathbb{R}.
Seja n\in\mathbb{Z}. Tome a bola aberta de raio \tfrac{1}{2} centrada em n, isto é,
Isso mostra que cada inteiro é isolado: existe uma vizinhança que intersecta \mathbb{Z} só naquele ponto. Assim \mathbb{Z} é discreto em \mathbb{R}.
Passo 5
Mostro que \mathbb{Z} é fechado em \mathbb{R}.
Se x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} (isto é, x não é inteiro), então a distância de x ao inteiro mais próximo é positiva. Mais concretamente, a parte fracionária de x fornece um número \delta>0 tal que o intervalo aberto (x-\delta,x+\delta) não contém nenhum inteiro. Logo cada ponto de \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} tem uma vizinhança inteira contida em \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}; isto é, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} é aberto. Portanto \mathbb{Z} é fechado.
(Outra justificativa equivalente: uma sequência de inteiros que converge em \mathbb{R} é eventualmente constante, logo seu limite é inteiro; assim \mathbb{Z} contém todos os seus pontos-limite.)
Passo 6
Observação óbvia: \mathbb{Z} é infinito. Logo \mathbb{Z} é um exemplo de conjunto que é simultaneamente discreto, fechado e infinito em \mathbb{R}.
Conclusão parcial: a afirmação original “se A é discreto e fechado então A é finito” é falsa em geral (pelo menos no espaço \mathbb{R}). Portanto não existe prova válida dela sem acrescentar hipóteses extras sobre o espaço ambiente.
Passo 7
Agora uma versão correta e útil da afirmação: se o espaço ambiente X for compacto (por exemplo um compacto Hausdorff como um intervalo fechado e limitado em \mathbb{R}), então qualquer subconjunto A\subset X que seja discreto e fechado é finito. Vou provar essa versão — é um resultado clássico e simples.
Prova da versão correta:
Se A é fechado em X e X é compacto, então A é compacto (subconjunto fechado de espaço compacto é compacto).
Como A é discreto, para cada a\in A existe uma vizinhança aberta U_a\subset X tal que U_a\cap A=\{a\}.
O conjunto \{U_a: a\in A\} é um recoberto aberto de A. Como A é compacto, existe um subrecoberto finito; ou seja, existem a_1,\dots,a_n\in A tais que
A\subset U_{a_1}\cup\cdots\cup U_{a_n}.
Mas cada U_{a_i} contém exatamente um ponto de A, portanto a união acima contém no máximo n pontos de A. Assim A tem no máximo n elementos, isto é, A é finito.
Isso fecha a versão verdadeira e explica por que falta uma hipótese no enunciado original: sem compacticidade do espaço ambiente a conclusão pode falhar (como no contraexemplo \mathbb{Z}\subset\mathbb{R}).
Resposta
Falso. Contrexemplo: A=\mathbb{Z}\subset\mathbb{R} é discreto, fechado e infinito.
Observação: a afirmação fica verdadeira se o espaço ambiente for compacto; então discreto + fechado implica finito.