Supondo que A é discreto, prove que se A é:
(b) aberto, então A é vazio.

Passo 1

O enunciado dá a informação: A é discreto. Pede-se provar que, se A for também aberto, então A é vazio. Ou seja, mostrar que não existe conjunto não-vazio que seja ao mesmo tempo discreto e aberto (no espaço \mathbb{R} com a topologia usual, que é o caso implícito).

Passo 2

Vamos lembrar (e entender bem) as definições que vamos usar — explicadas com calma.
  • Dizemos que um ponto x\in A é isolado em A se existe um intervalo aberto centrado em x que não contém nenhum outro ponto de A. Em fórmulas: existe \varepsilon>0 tal que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A=\{x\}.
  • Dizemos que A é discreto quando todos os seus pontos são isolados: isto é, para cada x\in A existe \varepsilon_x>0 com (x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x)\cap A=\{x\}.
  • Dizemos que A é aberto (na reta com a topologia usual) se, para cada x\in A, existe \delta_x>0 tal que (x-\delta_x,x+\delta_x)\subseteq A. Intuitivamente: todo ponto de A tem um pequeno intervalo inteiro contido em A.
Observe a diferença: “discreto” exige um intervalo que, intersectado com A, dê só o ponto x; “aberto” exige um intervalo inteiro contido em A, isto é, que esse intervalo contém muitos pontos de A (todos os seus pontos internos).

Passo 3

Agora vamos fazer a prova por contradição (método direto também funciona, mas a contradição é bem clara aqui). Suponha, para contradizer, que A seja discreto e aberto e que A\neq\varnothing. Então existe algum x\in A.
Pela discreteness de A, existe \varepsilon>0 tal que
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A=\{x\}.
Pela abertura de A, existe \delta>0 tal que
(x-\delta,x+\delta)\subseteq A.
Agora tome r=\min\{\varepsilon,\delta\}/2. Então r>0 e r\le \delta/2 e r\le \varepsilon/2. Considere o ponto
y=x+r.
Temos y\neq x e, porque r\le \delta/2, temos
|y-x|=r<\delta,
logo y\in(x-\delta,x+\delta). Como (x-\delta,x+\delta)\subseteq A, segue que y\in A. Mas também r\le\varepsilon/2 implica |y-x|<\varepsilon, então y\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon). Portanto y\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A e y\neq x.
Isto contradiz a propriedade de isolamento de x, que dizia que (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap A=\{x\}. Logo a suposição A\neq\varnothing leva a uma contradição.

Passo 4

Como a hipótese A\neq\varnothing é impossível, concluímos que não existe ponto em A. Portanto A deve ser o conjunto vazio.
(Comentário intuitivo: um conjunto aberto em \mathbb{R} contém intervalos, e intervalos têm sempre outros pontos ao redor de qualquer ponto interior — por isso nenhum ponto é isolado. Já um conjunto discreto exige que todos os pontos sejam isolados; as duas propriedades só coexistem no conjunto vazio. Um exemplo para fixar: \mathbb{Z} é discreto mas não é aberto; um intervalo (a,b) é aberto mas não é discreto.)

Resposta

\varnothing

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