Supondo que
é discreto, prove que se
é:
(b) aberto, então
é vazio.
(b) aberto, então
Passo 1
O enunciado dá a informação:
é discreto. Pede-se provar que, se
for também aberto, então
é vazio. Ou seja, mostrar que não existe conjunto não-vazio que seja ao mesmo tempo discreto e aberto (no espaço
com a topologia usual, que é o caso implícito).
Passo 2
Vamos lembrar (e entender bem) as definições que vamos usar — explicadas com calma.
-
Dizemos que um ponto
é isolado em se existe um intervalo aberto centrado em que não contém nenhum outro ponto de . Em fórmulas: existe tal que . -
Dizemos que
é discreto quando todos os seus pontos são isolados: isto é, para cada existe com . -
Dizemos que
é aberto (na reta com a topologia usual) se, para cada , existe tal que . Intuitivamente: todo ponto de tem um pequeno intervalo inteiro contido em .
Observe a diferença: “discreto” exige um intervalo que, intersectado com
, dê só o ponto
; “aberto” exige um intervalo inteiro contido em
, isto é, que esse intervalo contém muitos pontos de
(todos os seus pontos internos).
Passo 3
Agora vamos fazer a prova por contradição (método direto também funciona, mas a contradição é bem clara aqui). Suponha, para contradizer, que
seja discreto e aberto e que
. Então existe algum
.
Pela discreteness de
, existe
tal que
Pela abertura de
, existe
tal que
Agora tome
. Então
e
e
. Considere o ponto
Temos
e, porque
, temos
logo
. Como
, segue que
. Mas também
implica
, então
. Portanto
e
.
Isto contradiz a propriedade de isolamento de
, que dizia que
. Logo a suposição
leva a uma contradição.
Passo 4
Como a hipótese
é impossível, concluímos que não existe ponto em
. Portanto
deve ser o conjunto vazio.
(Comentário intuitivo: um conjunto aberto em
contém intervalos, e intervalos têm sempre outros pontos ao redor de qualquer ponto interior — por isso nenhum ponto é isolado. Já um conjunto discreto exige que todos os pontos sejam isolados; as duas propriedades só coexistem no conjunto vazio. Um exemplo para fixar:
é discreto mas não é aberto; um intervalo
é aberto mas não é discreto.)