Supondo que se distribui 15 bolas (numeradas de 1 a 15 ) em 15 caixas (numeradas de 1 a 15 ).
a) (1,5) Descreva um espaço de probabilidade adequado
b) (1,5) Calcule a probabilidade de que exatamente as caixas de número 2 e de número 3 estejam vazias
Obs.: Não é necessário fazer as contas. Basta indicar a fórmula de cálculo com os valores.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: há 15 bolas numeradas de 1 a 15 e 15 caixas numeradas de 1 a 15. As bolas são distribuídas de modo aleatório entre as caixas (cada bola vai para alguma caixa).
  • Pergunta (a): descrever um espaço de probabilidade adequado para esse experimento.
  • Pergunta (b): calcular a probabilidade de que exatamente as caixas de número 2 e 3 estejam vazias (ou seja: as caixas 2 e 3 recebem zero bolas, e cada uma das demais 13 caixas recebe pelo menos uma bola).

Passo 2

Modelagem do espaço amostral (resposta à parte (a)) — explicando passo a passo e por quê:
  • Cada bola é identificada (numerada) e ao final da distribuição cada bola ficou em alguma caixa numerada. Portanto um resultado completo do experimento pode ser visto como uma função que associa a cada bola um número de caixa.
  • Formalmente, denotar por \Omega o conjunto de todas as funções f:\{1,\dots,15\}\to\{1,\dots,15\}. Cada função representa uma atribuição “para cada bola diga em que caixa caiu”.
  • O número de resultados possíveis (cardinalidade de \Omega) é obtido assim: para cada uma das 15 bolas há 15 opções de caixa, então
|\Omega|=15^{15}.
  • Se assumimos que a distribuição é totalmente simétrica (cada atribuição de bolas às caixas é igualmente provável), então a medida de probabilidade é a medida uniforme em \Omega: para todo \omega\in\Omega,
P(\{\omega\})=\frac{1}{15^{15}}.
  • Resumo prático para (a): o espaço de probabilidade adequado é \Omega=\{1,\dots,15\}^{15} com P uniforme e |\Omega|=15^{15}.

Passo 3

Interpretando a condição pedida (preparando a contagem para (b)):
  • Queremos contar os resultados em que as caixas 2 e 3 estão vazias e as demais 13 caixas estão não vazias (cada uma das caixas \{1,4,5,\dots,15\} recebe pelo menos uma bola).
  • Isso equivale a contar funções de \{1,\dots,15\} para o conjunto de 13 caixas disponíveis \{1,4,5,\dots,15\} que sejam sobrejetivas (isto é, que atinjam todas as 13 caixas). Em termos combinatórios: número de funções de 15 bolas para 13 caixas com imagem tendo exatamente 13 elementos (todas não-vazias).

Passo 4

Contagem usando o número de Stirling de segunda espécie (método compacto):
  • Definição e interpretação: o número de Stirling de segunda espécie S(n,k) é o número de maneiras de particionar um conjunto de n elementos em k blocos não vazios e não rotulados. Se os recipientes (caixas) são rotulados (como aqui), para cada partição em k blocos podemos permutar os rótulos das caixas de k! maneiras.
  • Assim, o número de funções surjetivas de um conjunto de tamanho n em k caixas rotuladas é
k!\,S(n,k).
  • No nosso caso n=15 e k=13. Portanto o número de atribuições favoráveis (exatamente caixas 2 e 3 vazias) é
13!\,S(15,13).
  • Não é necessário calcular S(15,13) numericamente segundo o enunciado; esta expressão já indica a contagem exata.

Passo 5

Contagem alternativa por inclusão-exclusão (explicando a técnica):
  • Outra maneira, sem usar Stirling, é aplicar inclusão-exclusão para contar funções em que nenhuma das 13 caixas fica vazia. Começa-se com todas as funções para as 13 caixas (cada bola com 13 opções) e subtrai-se as que deixam pelo menos 1 caixa vazia, adiciona-se as que deixam pelo menos 2 caixas vazias, etc.
  • A fórmula resultante é
\sum_{j=0}^{13} (-1)^{j}\binom{13}{j}\,(13-j)^{15},
onde o termo \binom{13}{j} escolhe as j caixas que ficaram vazias e (13-j)^{15} conta as atribuições das 15 bolas às restantes 13-j caixas.
  • Essa soma é igual ao número de funções surjetivas para as 13 caixas; portanto bate com 13!\,S(15,13).

Passo 6

Montagem da probabilidade final (forma explanada):
  • A probabilidade pedida é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados 15^{15}.
  • Usando Stirling, a probabilidade é
\frac{13!\,S(15,13)}{15^{15}}.
  • Usando inclusão-exclusão, a mesma probabilidade pode ser escrita como
\frac{1}{15^{15}}\sum_{j=0}^{13}(-1)^{j}\binom{13}{j}\,(13-j)^{15}.

Resposta

a) \Omega=\{1,\dots,15\}^{15} com P uniforme e |\Omega|=15^{15}.\n
b) \displaystyle \frac{13!\,S(15,13)}{15^{15}} = \frac{1}{15^{15}}\sum_{j=0}^{13}(-1)^{j}\binom{13}{j}\,(13-j)^{15}

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