Supondo que se distribui 15 bolas (numeradas de 1 a 15 ) em 15 caixas (numeradas de 1 a 15 ).
a)
Descreva um espaço de probabilidade adequado
b)
Calcule a probabilidade de que exatamente as caixas de número 2 e de número 3 estejam vazias
Obs.: Não é necessário fazer as contas. Basta indicar a fórmula de cálculo com os valores.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: há
bolas numeradas de a e caixas numeradas de a . As bolas são distribuídas de modo aleatório entre as caixas (cada bola vai para alguma caixa). - Pergunta (a): descrever um espaço de probabilidade adequado para esse experimento.
- Pergunta (b): calcular a probabilidade de que exatamente as caixas de número
e estejam vazias (ou seja: as caixas e recebem zero bolas, e cada uma das demais caixas recebe pelo menos uma bola).
Passo 2
Modelagem do espaço amostral (resposta à parte (a)) — explicando passo a passo e por quê:
- Cada bola é identificada (numerada) e ao final da distribuição cada bola ficou em alguma caixa numerada. Portanto um resultado completo do experimento pode ser visto como uma função que associa a cada bola um número de caixa.
- Formalmente, denotar por
o conjunto de todas as funções . Cada função representa uma atribuição “para cada bola diga em que caixa caiu”. - O número de resultados possíveis (cardinalidade de
) é obtido assim: para cada uma das bolas há opções de caixa, então
- Se assumimos que a distribuição é totalmente simétrica (cada atribuição de bolas às caixas é igualmente provável), então a medida de probabilidade é a medida uniforme em
: para todo ,
- Resumo prático para (a): o espaço de probabilidade adequado é
com uniforme e .
Passo 3
Interpretando a condição pedida (preparando a contagem para (b)):
- Queremos contar os resultados em que as caixas
e estão vazias e as demais caixas estão não vazias (cada uma das caixas recebe pelo menos uma bola). - Isso equivale a contar funções de
para o conjunto de caixas disponíveis que sejam sobrejetivas (isto é, que atinjam todas as caixas). Em termos combinatórios: número de funções de bolas para caixas com imagem tendo exatamente elementos (todas não-vazias).
Passo 4
Contagem usando o número de Stirling de segunda espécie (método compacto):
- Definição e interpretação: o número de Stirling de segunda espécie
é o número de maneiras de particionar um conjunto de elementos em blocos não vazios e não rotulados. Se os recipientes (caixas) são rotulados (como aqui), para cada partição em blocos podemos permutar os rótulos das caixas de maneiras. - Assim, o número de funções surjetivas de um conjunto de tamanho
em caixas rotuladas é
- No nosso caso
e . Portanto o número de atribuições favoráveis (exatamente caixas e vazias) é
- Não é necessário calcular
numericamente segundo o enunciado; esta expressão já indica a contagem exata.
Passo 5
Contagem alternativa por inclusão-exclusão (explicando a técnica):
- Outra maneira, sem usar Stirling, é aplicar inclusão-exclusão para contar funções em que nenhuma das
caixas fica vazia. Começa-se com todas as funções para as caixas (cada bola com opções) e subtrai-se as que deixam pelo menos 1 caixa vazia, adiciona-se as que deixam pelo menos 2 caixas vazias, etc. - A fórmula resultante é
onde o termo
escolhe as
caixas que ficaram vazias e
conta as atribuições das
bolas às restantes
caixas.
- Essa soma é igual ao número de funções surjetivas para as
caixas; portanto bate com .
Passo 6
Montagem da probabilidade final (forma explanada):
- A probabilidade pedida é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados
. - Usando Stirling, a probabilidade é
- Usando inclusão-exclusão, a mesma probabilidade pode ser escrita como
Resposta
a)
com
uniforme e
.\n
b)
b)