Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
p(k)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(\frac{6}{7}\right)^{k}, & k \in\{0,1,2,3, \ldots\} \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.ácom c uma constante. Resolva os itens abaixo.
(1,5) Calcule P(\max (X, Y)=Y).

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas variáveis aleatórias X\) e \(Y\) independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com função de massa \[p(k)=\begin{cases}c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k\in\{0,1,2,\ldots\},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • A constante c\] não está dada explicitamente (temos que determiná-la pela normalização). O que se pede: - Calcular \(P(\max(X,Y)=Y).]

Passo 2

Interpretação do evento pedido e estratégia:
  • O evento \{\max(X,Y)=Y\} é o mesmo que \{Y\ge X\} (isto é, Y é maior ou igual ao outro valor).
  • Como X e Y são i.i.d., por simetria vale P(Y>X)=P(X>Y).
    Vamos usar essa simetria para escrever P(Y\ge X) em termos de P(X=Y). Escrevendo a partição das possibilidades:
1 = P(X>Y)+P(X=Y)+P(X<Y).
Pela simetria P(X>Y)=P(X<Y). Assim:
1 = 2P(X>Y)+P(X=Y)\quad\Rightarrow\quad P(X>Y)=\frac{1-P(X=Y)}{2}.
Então
P(Y\ge X)=P(Y>X)+P(Y=X)=P(X>Y)+P(X=Y)=\frac{1-P(X=Y)}{2}+P(X=Y)=\frac{1+P(X=Y)}{2}.
Portanto basta calcular P(X=Y).

Passo 3

Calcular c (normalização da distribuição):
  • Para que p(k) seja uma pmf, \sum_{k=0}^{\infty} p(k)=1. Logo
1 = \sum_{k=0}^{\infty} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k} = c\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}.
  • Usando a soma da série geométrica \sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1, com r=\dfrac{6}{7}, obtemos
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-\tfrac{6}{7}}=\dfrac{1}{\tfrac{1}{7}}=7.
  • Assim
1 = c\cdot 7 \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{1}{7}.
Observação útil: a distribuição é uma geométrica (contando falhas) com parâmetro p=\tfrac{1}{7}, já que p(k)=\bigl(1-p\bigr)^{k}p.

Passo 4

Calcular P(X=Y):
  • Como X e Y são independentes,
P(X=Y)=\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k,Y=k)=\sum_{k=0}^{\infty} p(k)\,p(k)=\sum_{k=0}^{\infty} p(k)^{2}.
  • Com c=\dfrac{1}{7} temos p(k)=\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}. Então
p(k)^{2}=\dfrac{1}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{2k}=\dfrac{1}{49}\left(\dfrac{36}{49}\right)^{k}.
  • Portanto
P(X=Y)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{49}\left(\dfrac{36}{49}\right)^{k}=\dfrac{1}{49}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{36}{49}\right)^{k}.
  • Aplicando novamente a soma geométrica com razão r=\dfrac{36}{49} (note 0<r<1):
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{36}{49}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-\tfrac{36}{49}}=\dfrac{1}{\tfrac{13}{49}}=\dfrac{49}{13}.
  • Logo
P(X=Y)=\dfrac{1}{49}\cdot\dfrac{49}{13}=\dfrac{1}{13}.

Passo 5

Calcular P(\max(X,Y)=Y)=P(Y\ge X) usando a fórmula do Passo 2:
P(Y\ge X)=\frac{1+P(X=Y)}{2}=\frac{1+\dfrac{1}{13}}{2}=\frac{\dfrac{14}{13}}{2}=\frac{7}{13}.

Resposta

\dfrac{7}{13}

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