Sejam
e
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
com
uma constante. Resolva os itens abaixo.
Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Duas variáveis aleatórias
- A constante .]
Passo 2
Interpretação do evento pedido e estratégia:
- O evento
é o mesmo que (isto é, é maior ou igual ao outro valor). - Como
e são i.i.d., por simetria vale .
Vamos usar essa simetria para escreverem termos de . Escrevendo a partição das possibilidades:
Pela simetria
. Assim:
Então
Portanto basta calcular
.
Passo 3
Calcular
(normalização da distribuição):
- Para que
seja uma pmf, . Logo
- Usando a soma da série geométrica
para , com , obtemos
- Assim
Observação útil: a distribuição é uma geométrica (contando falhas) com parâmetro
, já que
.
Passo 4
Calcular
:
- Como
e são independentes,
- Com
temos . Então
- Portanto
- Aplicando novamente a soma geométrica com razão
(note ):
- Logo
Passo 5
Calcular
usando a fórmula do Passo 2: