Sejam
e
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
com
uma constante. Resolva os itens abaixo.
Determine a função de probabilidade de
.
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis aleatórias
onde
.
Informações importantes fornecidas:
-
e são independentes e identicamente distribuídas. - A forma funcional de
para depende de e da razão . - Queremos a distribuição de
, isto é, calcular para .]
Passo 2
Primeiro normalizar a pmf para encontrar
. A soma das probabilidades deve ser 1:
A série geométrica
vale para
. Aqui
, logo
Portanto
Passo 3
Substituindo
É útil definir (r=\dfrac{6}{7}] para simplificar notação quando necessário.]
Passo 4
Para achar a distribuição de
usamos a relação entre CDFs. Se
, pela independência
Calculamos
somando a pmf de
até
:
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Agora obtém-se a pmf de
via diferença das CDFs discretas:
com a convenção
. Substituindo
temos
Esta é já uma forma correta e clara da probabilidade de
para
.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão para uma forma mais explícita. Expandindo as diferenças de quadrados:
Substituindo
e
, calculamos os coeficientes:
logo
Portanto uma forma bem explícita é
onde
e
.]
Passo 7
(check rápido de consistência) Verificar que as probabilidades somam 1:
Como
e
, isso dá
confirmando que a expressão está correta.
Resposta
ou equivalentemente