Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
p(k)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(\frac{6}{7}\right)^{k}, & k \in\{0,1,2,3, \ldots\} \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.ácom c uma constante. Resolva os itens abaixo.
(1,5) Determine a função de probabilidade de W=\max (X, Y).

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias X\) e \(Y\), independentes e identicamente distribuídas, com função de probabilidade \[p(k)=\begin{cases} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k\in\{0,1,2,\ldots\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
onde c\] é uma constante. Pede-se a função de probabilidade de \(W=\max(X,Y).
Informações importantes fornecidas:
  • X e Y são independentes e identicamente distribuídas.
  • A forma funcional de p(k) para k\ge0 depende de c e da razão \dfrac{6}{7}.
  • Queremos a distribuição de W=\max(X,Y), isto é, calcular P(W=k) para k=0,1,2,\ldots.]

Passo 2

Primeiro normalizar a pmf para encontrar c. A soma das probabilidades deve ser 1:
\sum_{k=0}^{\infty} p(k)=\sum_{k=0}^{\infty} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=1.
A série geométrica \sum_{k=0}^\infty r^k=\dfrac{1}{1-r} vale para |r|<1. Aqui r=\dfrac{6}{7}, logo
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=\dfrac{1}{1-\tfrac{6}{7}}=\dfrac{1}{\tfrac{1}{7}}=7.
Portanto
c\cdot 7 = 1 \quad\Rightarrow\quad c=\dfrac{1}{7}.

Passo 3

Substituindo c\), obtemos a pmf de \(X\) (e de \(Y\)): \[p(k)=\begin{cases} \dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k=0,1,2,\ldots,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
É útil definir (r=\dfrac{6}{7}] para simplificar notação quando necessário.]

Passo 4

Para achar a distribuição de W=\max(X,Y) usamos a relação entre CDFs. Se F_X(k)=P(X\le k), pela independência
P(W\le k)=P(X\le k,\;Y\le k)=P(X\le k)\,P(Y\le k)=F_X(k)^2.
Calculamos F_X(k) somando a pmf de 0 até k:
F_X(k)=\sum_{i=0}^{k} \dfrac{1}{7} r^{i}=\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{1-r^{\,k+1}}{1-r}.
Como 1-r=1-\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}, isso simplifica para
F_X(k)=1-r^{\,k+1}.

Passo 5

Agora obtém-se a pmf de W via diferença das CDFs discretas:
P(W=k)=P(W\le k)-P(W\le k-1)=F_X(k)^2-F_X(k-1)^2,
com a convenção F_X(-1)=0. Substituindo F_X(k)=1-r^{k+1} temos
P(W=k)=\bigl(1-r^{k+1}\bigr)^2-\bigl(1-r^{k}\bigr)^2.
Esta é já uma forma correta e clara da probabilidade de W para k\ge0.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão para uma forma mais explícita. Expandindo as diferenças de quadrados:
\begin{aligned} P(W=k)&= \bigl(1-2r^{k+1}+r^{2k+2}\bigr)-\bigl(1-2r^{k}+r^{2k}\bigr)\\[4pt] &= -2r^{k+1}+r^{2k+2}+2r^{k}-r^{2k}\\[4pt] &= 2r^{k}\bigl(1-r\bigr) + r^{2k}\bigl(r^{2}-1\bigr). \end{aligned}
Substituindo r=\dfrac{6}{7} e 1-r=\dfrac{1}{7}, calculamos os coeficientes:
2r^{k}(1-r)=2\cdot r^{k}\cdot\dfrac{1}{7}=\dfrac{2}{7}r^{k},
r^{2}-1=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{2}-1=\dfrac{36}{49}-1=-\dfrac{13}{49},
logo
r^{2k}(r^{2}-1)=-\dfrac{13}{49} r^{2k}.
Portanto uma forma bem explícita é
P(W=k)=\dfrac{2}{7}\,r^{k}-\dfrac{13}{49}\,r^{2k},
onde r=\dfrac{6}{7} e k=0,1,2,\ldots.]

Passo 7

(check rápido de consistência) Verificar que as probabilidades somam 1:
\sum_{k=0}^{\infty} P(W=k)=\dfrac{2}{7}\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}-\dfrac{13}{49}\sum_{k=0}^{\infty}r^{2k} =\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{1}{1-r}-\dfrac{13}{49}\cdot\dfrac{1}{1-r^{2}}.
Como 1/(1-r)=7 e 1/(1-r^{2})=1/(1-(36/49))=1/(13/49)=49/13, isso dá
\dfrac{2}{7}\cdot 7 - \dfrac{13}{49}\cdot \dfrac{49}{13}=2-1=1,
confirmando que a expressão está correta.

Resposta

P\bigl(W=k\bigr)=\bigl(1-\bigl(\tfrac{6}{7}\bigr)^{k+1}\bigr)^{2}-\bigl(1-\bigl(\tfrac{6}{7}\bigr)^{k}\bigr)^{2},\qquad k=0,1,2,\ldots
ou equivalentemente
P\bigl(W=k\bigr)=\dfrac{2}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}-\dfrac{13}{49}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{2k},\qquad k=0,1,2,\ldots

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