Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
número(s) de:
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o número de vértices e o número de arestas do poliedro. As informações dadas são:
- O poliedro tem
faces. - Há
vértices de onde partem arestas cada um. - Há
vértices de onde partem arestas cada um. - Os vértices restantes são todos de grau
(ou seja, de cada um partem arestas).
Vamos chamar de
o número de vértices restantes (os de grau
). O objetivo é achar o número total de vértices
e o número de arestas
.
Passo 2
Primeiro, a ferramenta que vamos usar é a relação entre graus dos vértices e arestas (às vezes chamada “lema da mão” ou lema do aperto de mão) que diz que a soma dos graus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas. Em fórmula:
Aqui, soma dos graus =
. Vou explicar: os dois vértices de grau
contribuem com
, os quatro vértices de grau
com
e os
vértices restantes com
.
Passo 3
Calcular a soma dos graus explicitamente:
Pelo lema do aperto de mão temos:
Daí isolamos
:
Observação rápida: como
é inteiro, isso força
a ser par, portanto
tem a mesma paridade de
(que é par), logo
deve ser par. Mas vamos obter
usando Euler a seguir.
Passo 4
Agora usamos a fórmula de Euler para poliedros (a que o enunciado já pressupõe) que relaciona vértices
, arestas
e faces
:
Expressamos
em função de
: há
vértices de grau
,
de grau
e
de grau
, então
Substituímos
,
(em função de
) e
na fórmula de Euler:
Passo 5
Resolvendo a equação passo a passo. Multiplicamos tudo por
para evitar frações:
Calculando cada termo:
Agrupando constantes e termos em
:
Isolando
:
Passo 6
Agora que encontramos
, calculamos
e
.
E usando
:
logo
Fazemos uma checagem rápida na fórmula de Euler:
confere certinho.
Resposta
Número de vértices:
Número de arestas:
Número de arestas: