Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine o(\mathrm{~s}) número(s) de:
d) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem quinze faces, que de dois de seus vértices partem cinco arestas, de quatro outros partem quatro arestas e dos restantes partem 3 arestas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de vértices e o número de arestas do poliedro. As informações dadas são:
  • O poliedro tem \,15 faces.
  • 2 vértices de onde partem 5 arestas cada um.
  • 4 vértices de onde partem 4 arestas cada um.
  • Os vértices restantes são todos de grau 3 (ou seja, de cada um partem 3 arestas).
Vamos chamar de r o número de vértices restantes (os de grau 3). O objetivo é achar o número total de vértices V e o número de arestas E.

Passo 2

Primeiro, a ferramenta que vamos usar é a relação entre graus dos vértices e arestas (às vezes chamada “lema da mão” ou lema do aperto de mão) que diz que a soma dos graus de todos os vértices é igual a duas vezes o número de arestas. Em fórmula:
\text{soma dos graus} = 2E.
Aqui, soma dos graus = 2\cdot 5 + 4\cdot 4 + r\cdot 3. Vou explicar: os dois vértices de grau 5 contribuem com 2\cdot 5, os quatro vértices de grau 4 com 4\cdot 4 e os r vértices restantes com r\cdot 3.

Passo 3

Calcular a soma dos graus explicitamente:
2\cdot 5 + 4\cdot 4 + r\cdot 3 = 10 + 16 + 3r = 26 + 3r.
Pelo lema do aperto de mão temos:
2E = 26 + 3r.
Daí isolamos E:
E = \frac{26 + 3r}{2}.
Observação rápida: como E é inteiro, isso força 26+3r a ser par, portanto 3r tem a mesma paridade de 26 (que é par), logo r deve ser par. Mas vamos obter r usando Euler a seguir.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de Euler para poliedros (a que o enunciado já pressupõe) que relaciona vértices V, arestas E e faces F:
V - E + F = 2.
Expressamos V em função de r: há 2 vértices de grau 5, 4 de grau 4 e r de grau 3, então
V = 2 + 4 + r = 6 + r.
Substituímos V, E (em função de r) e F=15 na fórmula de Euler:
(6 + r) - \frac{26 + 3r}{2} + 15 = 2.

Passo 5

Resolvendo a equação passo a passo. Multiplicamos tudo por 2 para evitar frações:
2(6 + r) - (26 + 3r) + 2\cdot 15 = 2\cdot 2.
Calculando cada termo:
12 + 2r - 26 - 3r + 30 = 4.
Agrupando constantes e termos em r:
(12 - 26 + 30) + (2r - 3r) = 4,
16 - r = 4.
Isolando r:
r = 16 - 4 = 12.

Passo 6

Agora que encontramos r, calculamos V e E.
V = 6 + r = 6 + 12 = 18.
E usando 2E = 26 + 3r:
2E = 26 + 3\cdot 12 = 26 + 36 = 62,
logo
E = \frac{62}{2} = 31.
Fazemos uma checagem rápida na fórmula de Euler:
V - E + F = 18 - 31 + 15 = 2,
confere certinho.

Resposta

Número de vértices: \,18
Número de arestas: \,31

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