Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine o(\mathrm{~s}) número(s) de:
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O poliedro tem 11 vértices.
  • Todas as faces são triangulares, quadrangulares, e há exatamente uma face pentagonal.
  • O número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares.
  • O que se pede: determinar o número de arestas e o número de faces do poliedro.

Passo 2

Definir variáveis para organizar a informação (sempre explicando o que cada símbolo significa).
  • Seja t o número de faces triangulares.
  • Seja q o número de faces quadrangulares.
  • Há exatamente uma face pentagonal, então vamos chamar esse número de 1.
  • O número total de faces F é a soma dessas faces:
F = t + q + 1.
  • O enunciado diz que o número de faces triangulares é igual ao de quadrangulares, portanto:
q = t.
Substituindo na expressão de F obtemos:
F = t + t + 1 = 2t + 1.

Passo 3

Contagem das incidências aresta–face (explicando a ideia do “duplo contador”).
Cada face contribui com tantas arestas quanto seus lados:
  • cada face triangular contribui com 3 lados,
  • cada quadrangular com 4 lados,
  • a face pentagonal com 5 lados.
Somando todos os lados de todas as faces obtemos o total de incidências face–lado:
3t + 4q + 5.
Como cada aresta pertence a exatamente duas faces (assumindo poliedro sem bordas), cada aresta é contada duas vezes nessa soma. Logo vale a relação
2E = 3t + 4q + 5.
Substituindo q=t obtemos
2E = 3t + 4t + 5 = 7t + 5,
ou seja
E = \frac{7t + 5}{2}.
Aqui é útil notar que E deve ser inteiro, logo 7t+5 deve ser par — isso impõe uma condição de paridade sobre t, que verificaremos depois.

Passo 4

Usar a fórmula de Euler (explicando o que é e o que cada símbolo representa).
A fórmula de Euler para poliedros convexos (e em geral para poliedros topologicamente equivalentes à esfera) é
V - E + F = 2,
onde V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces.
No nosso caso V = 11 e F = 2t+1. Substituindo na fórmula de Euler:
11 - E + (2t + 1) = 2.
Resolver essa equação para E:
12 + 2t - E = 2
E = 12 + 2t - 2 = 10 + 2t.

Passo 5

Resolver o sistema formado pelas duas expressões para E.
Temos duas fórmulas para E:
E = \frac{7t + 5}{2}
e
E = 10 + 2t.
Igualando-as:
\frac{7t + 5}{2} = 10 + 2t.
Multiplicando ambos os lados por 2:
7t + 5 = 20 + 4t.
Subtraindo 4t e subtraindo 5 de ambos os lados:
3t = 15.
Logo
t = 5.

Passo 6

Calcular os demais números e conferir consistência.
  • Como q = t, temos q = 5.
  • O número total de faces é
F = 2t + 1 = 2\cdot 5 + 1 = 11.
  • O número de arestas, usando E = 10 + 2t, é
E = 10 + 2\cdot 5 = 20.
Verificações rápidas:
  • Checar a contagem face–lado: 3t + 4q + 5 = 3\cdot 5 + 4\cdot 5 + 5 = 15 + 20 + 5 = 40. Como 2E = 2\cdot 20 = 40, está consistente.
  • Checar Euler: V - E + F = 11 - 20 + 11 = 2, também consistente.

Resposta

Número de arestas: 20
Número de faces: 11

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