Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
número(s) de:
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
b) Arestas e faces, dado que o poliedro tem onze vértices e apenas faces triangulares, quadrangulares, e somente uma face pentagonal, sendo ainda o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O poliedro tem
vértices. - Todas as faces são triangulares, quadrangulares, e há exatamente uma face pentagonal.
- O número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares.
- O que se pede: determinar o número de arestas e o número de faces do poliedro.
Passo 2
Definir variáveis para organizar a informação (sempre explicando o que cada símbolo significa).
- Seja
o número de faces triangulares. - Seja
o número de faces quadrangulares. - Há exatamente uma face pentagonal, então vamos chamar esse número de
. - O número total de faces
é a soma dessas faces:
- O enunciado diz que o número de faces triangulares é igual ao de quadrangulares, portanto:
Substituindo na expressão de
obtemos:
Passo 3
Contagem das incidências aresta–face (explicando a ideia do “duplo contador”).
Cada face contribui com tantas arestas quanto seus lados:
- cada face triangular contribui com
lados, - cada quadrangular com
lados, - a face pentagonal com
lados.
Somando todos os lados de todas as faces obtemos o total de incidências face–lado:
Como cada aresta pertence a exatamente duas faces (assumindo poliedro sem bordas), cada aresta é contada duas vezes nessa soma. Logo vale a relação
Substituindo
obtemos
ou seja
Aqui é útil notar que
deve ser inteiro, logo
deve ser par — isso impõe uma condição de paridade sobre
, que verificaremos depois.
Passo 4
Usar a fórmula de Euler (explicando o que é e o que cada símbolo representa).
A fórmula de Euler para poliedros convexos (e em geral para poliedros topologicamente equivalentes à esfera) é
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces.
No nosso caso
e
. Substituindo na fórmula de Euler:
Resolver essa equação para
:
Passo 5
Resolver o sistema formado pelas duas expressões para
.
Temos duas fórmulas para
:
e
Igualando-as:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo
e subtraindo
de ambos os lados:
Logo
Passo 6
Calcular os demais números e conferir consistência.
- Como
, temos . - O número total de faces é
- O número de arestas, usando
, é
Verificações rápidas:
- Checar a contagem face–lado:
. Como , está consistente. - Checar Euler:
, também consistente.
Resposta
Número de arestas:
Número de faces:
Número de faces: