Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine
número(s) de:
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
- O poliedro tem
faces no total. - Dessas,
são triangulares (cada uma com lados) e são quadrangulares (cada uma com lados).
O que o enunciado pede:
- Determinar o número de vértices
. - Determinar o número de arestas
.
Passo 2
Vamos lembrar e entender a ferramenta principal: a fórmula de Euler para poliedros convexos (ou, em geral, para poliedros topologicamente equivalentes a uma esfera):
Aqui:
-
é o número de vértices, -
é o número de arestas, -
é o número de faces.
Além disso, precisamos de outra relação muito útil: se somarmos, para cada face, o número de lados dessa face, obtemos o total de “incidências aresta–face”. Cada aresta pertence a exatamente duas faces (uma de cada lado), então essa soma conta cada aresta duas vezes. Logo vale a identidade:
Essa é uma ideia simples: se eu percorro todas as faces e conto suas arestas, cada aresta aparece em duas faces e é contada duas vezes.
Passo 3
Aplicar a relação anterior às faces dadas. As
faces triangulares contribuem com
lados no total; as
quadrangulares contribuem com
lados no total. Portanto a soma dos lados das faces é
Passo 4
Usando a identidade
, temos
Então o poliedro tem
arestas.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula de Euler
substituindo
e
:
Resolvendo:
Portanto o poliedro tem
vértices.
Passo 6
Pequena checagem de plausibilidade (opcional, só para dar confiança): a soma dos graus dos vértices (número de arestas incidentes em cada vértice) também deve ser
. Com
, a média de grau por vértice é
, ou seja, maior que
(cada vértice num poliedro tem pelo menos 3 arestas). Isso é consistente.