Supondo que a fórmula de Euler é verdadeira para o poliedro, determine o(\mathrm{~s}) número(s) de:
a) Vértices e arestas, dado que o poliedro tem onze faces, seis delas triangulares, e cinco quadrangulares.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
  • O poliedro tem F=11 faces no total.
  • Dessas, 6 são triangulares (cada uma com 3 lados) e 5 são quadrangulares (cada uma com 4 lados).
O que o enunciado pede:
  • Determinar o número de vértices V.
  • Determinar o número de arestas E.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a ferramenta principal: a fórmula de Euler para poliedros convexos (ou, em geral, para poliedros topologicamente equivalentes a uma esfera):
V - E + F = 2.
Aqui:
  • V é o número de vértices,
  • E é o número de arestas,
  • F é o número de faces.
Além disso, precisamos de outra relação muito útil: se somarmos, para cada face, o número de lados dessa face, obtemos o total de “incidências aresta–face”. Cada aresta pertence a exatamente duas faces (uma de cada lado), então essa soma conta cada aresta duas vezes. Logo vale a identidade:
\sum_{\text{faces}} (\text{número de lados da face}) = 2E.ú
Essa é uma ideia simples: se eu percorro todas as faces e conto suas arestas, cada aresta aparece em duas faces e é contada duas vezes.

Passo 3

Aplicar a relação anterior às faces dadas. As 6 faces triangulares contribuem com 6\cdot 3 lados no total; as 5 quadrangulares contribuem com 5\cdot 4 lados no total. Portanto a soma dos lados das faces é
6\cdot 3 + 5\cdot 4 = 18 + 20 = 38.

Passo 4

Usando a identidade \sum (\text{lados}) = 2E, temos
2E = 38 \quad\Rightarrow\quad E = 19.
Então o poliedro tem E=19 arestas.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Euler \;V - E + F = 2\; substituindo E=19 e F=11:
V - 19 + 11 = 2.
Resolvendo:
V - 8 = 2 \quad\Rightarrow\quad V = 10.
Portanto o poliedro tem V=10 vértices.

Passo 6

Pequena checagem de plausibilidade (opcional, só para dar confiança): a soma dos graus dos vértices (número de arestas incidentes em cada vértice) também deve ser 2E=38. Com V=10, a média de grau por vértice é 38/10=3,8, ou seja, maior que 3 (cada vértice num poliedro tem pelo menos 3 arestas). Isso é consistente.

Resposta

V=10
E=19

Exercícios relacionados