Questão 4:
Considere a equação diferencial a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, \operatorname{com} a, b e c constantes. Exiba o conjunto fundamental, y_{1} e y_{2}, de soluções para:
Mostre que essas funções são de fato soluções da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a y'' + b y' + c y = 0,
onde a, b e c são constantes (assume-se a\neq0). O pedido é: exibir um conjunto fundamental de soluções y_1 e y_2 (ou seja, duas soluções linearmente independentes que geram todas as soluções) e mostrar que essas funções realmente satisfazem a equação diferencial.
As informações relevantes:
A equação é linear, homogênea e de coeficientes constantes.
É preciso considerar os possíveis tipos de raízes da equação quadrática associada (discriminante positivo, zero ou negativo).
Deve-se verificar tanto que as funções satisfazem a equação quanto que são linearmente independentes (por exemplo, avaliando o Wronskiano).
Passo 2
Motivação e derivação do polinômio característico (a ideia principal)
Por experiência com equações de coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo y=e^{r x} (essa é a “ansatz” clássica: exponenciais transformam derivadas em fatores multiplicativos).
Como e^{r x} nunca é zero, obtemos o polinômio característico
a r^2 + b r + c = 0.
Denote o discriminante por \Delta = b^2 - 4 a c. A natureza das raízes desse polinômio determina os tipos de soluções fundamentais. Agora vamos aos casos.
são soluções porque já verificamos que qualquer y=e^{r x} satisfaz a equação quando r é raiz de a r^2+b r+c=0: substituição direta dá e^{r x}(a r^2+b r+c)=0.
Verificação da independência linear (Wronskiano): calcule
Essas duas funções são soluções reais porque são combinações lineares (parte real e imaginária) das soluções exponenciais complexas e a equação tem coeficientes reais.
Verificação da independência (Wronskiano): calculando (ou usando fórmula conhecida) obtém-se
W(y_1,y_2)(x)=\beta e^{2\alpha x}\neq 0
para todo x, pois \beta>0. Logo são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental.
Passo 6
Resumo prático (como aplicar na prova — passo a passo)
Forme o polinômio característico \;a r^2+b r+c=0\; encontrando \Delta=b^2-4ac.
Se \Delta>0: raízes reais distintas r_1,r_2 e o conjunto fundamental é \{e^{r_1 x},\,e^{r_2 x}\}.
Se \Delta=0: raiz dupla r e o conjunto fundamental é \{e^{r x},\,x e^{r x}\}.
Se \Delta<0: raízes \alpha\pm i\beta e o conjunto fundamental real é \{e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,e^{\alpha x}\sin(\beta x)\}.
Em cada caso pode-se verificar rapidamente que as funções são soluções substituindo na equação ou usando a identidade L[e^{r x}]=e^{r x}(a r^2+b r+c) e verificando independência pelo Wronskiano.
Força aí — na prova siga esse roteiro, e fica mais fácil. Agora as respostas compactas.
Resposta
\Delta=b^{2}-4ac \
Se \Delta>0: y_{1}(x)=e^{r_{1}x},\;y_{2}(x)=e^{r_{2}x}, onde r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. \
Se \Delta=0: y_{1}(x)=e^{rx},\;y_{2}(x)=x e^{rx}, onde r=-\dfrac{b}{2a}. \
Se \Delta<0: y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\;y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x), onde \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta=\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}.