Questão 4:
Considere a equação diferencial a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, \operatorname{com} a, b e c constantes. Exiba o conjunto fundamental, y_{1} e y_{2}, de soluções para:
Mostre que essas funções são de fato soluções da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
a y'' + b y' + c y = 0,
onde a, b e c são constantes (assume-se a\neq0). O pedido é: exibir um conjunto fundamental de soluções y_1 e y_2 (ou seja, duas soluções linearmente independentes que geram todas as soluções) e mostrar que essas funções realmente satisfazem a equação diferencial.
As informações relevantes:
  • A equação é linear, homogênea e de coeficientes constantes.
  • É preciso considerar os possíveis tipos de raízes da equação quadrática associada (discriminante positivo, zero ou negativo).
  • Deve-se verificar tanto que as funções satisfazem a equação quanto que são linearmente independentes (por exemplo, avaliando o Wronskiano).

Passo 2

Motivação e derivação do polinômio característico (a ideia principal)
  • Por experiência com equações de coeficientes constantes, tenta-se uma solução do tipo y=e^{r x} (essa é a “ansatz” clássica: exponenciais transformam derivadas em fatores multiplicativos).
  • Calcule as derivadas para y=e^{r x}:
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^2 e^{r x}.
  • Substituindo na equação original:
a(r^2 e^{r x}) + b(r e^{r x}) + c(e^{r x}) = e^{r x}\bigl(a r^2 + b r + c\bigr) = 0.
  • Como e^{r x} nunca é zero, obtemos o polinômio característico
a r^2 + b r + c = 0.
  • Denote o discriminante por \Delta = b^2 - 4 a c. A natureza das raízes desse polinômio determina os tipos de soluções fundamentais. Agora vamos aos casos.

Passo 3

Caso 1 — duas raízes reais e distintas ( \Delta>0)
  • As raízes são
r_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad r_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad r_1\neq r_2.
  • Então as funções
y_1(x)=e^{r_1 x},\qquad y_2(x)=e^{r_2 x}
são soluções porque já verificamos que qualquer y=e^{r x} satisfaz a equação quando r é raiz de a r^2+b r+c=0: substituição direta dá e^{r x}(a r^2+b r+c)=0.
  • Verificação da independência linear (Wronskiano): calcule
W(y_1,y_2)(x)=\begin{vmatrix} e^{r_1 x} & e^{r_2 x}\\[4pt] r_1 e^{r_1 x} & r_2 e^{r_2 x} \end{vmatrix} = e^{(r_1+r_2)x}(r_2-r_1).
Como r_1\neq r_2, tem-se W(y_1,y_2)(x)\neq 0 para todo x. Logo y_1 e y_2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental.]

Passo 4

Caso 2 — raiz real dupla ( \Delta=0)
  • Neste caso a equação característica tem uma raiz de multiplicidade 2:
r = \frac{-b}{2a}.
  • Uma solução evidente é y_1(x)=e^{r x}. Para obter a segunda solução linearmente independente, usa-se o procedimento padrão que dá y_2(x)=x e^{r x}.
  • Verificação direta que y_2 é solução (fazendo as derivadas e substituindo):
y_2 = x e^{r x},\qquad y_2' = e^{r x} + r x e^{r x},\qquad y_2'' = 2 r e^{r x} + r^2 x e^{r x}.
Substituindo em a y'' + b y' + c y:
a(2 r e^{r x} + r^2 x e^{r x}) + b(e^{r x} + r x e^{r x}) + c(x e^{r x}).
Factorizando e^{r x}:
e^{r x}\bigl(2 a r + b + x(a r^2 + b r + c)\bigr).
Como r é raiz de a r^2 + b r + c=0, o termo multiplicado por x some, restando
e^{r x}(2 a r + b).
Mas para a raiz dupla tem-se 2 a r + b = 0 (porque r=-b/(2a)), logo o resultado é zero e y_2 satisfaz a equação.
  • Wronskiano:
W(y_1,y_2)(x)=\begin{vmatrix} e^{r x} & x e^{r x}\\[4pt] r e^{r x} & e^{r x}+r x e^{r x} \end{vmatrix} = e^{2 r x}\bigl(1\bigr)=e^{2 r x}\neq 0.
Portanto y_1 e y_2 são linearmente independentes e formam o conjunto fundamental.]

Passo 5

Caso 3 — raízes complexas conjugadas ( \Delta<0)
  • Escreva as raízes como
r=\alpha\pm i\beta,\qquad \alpha=\frac{-b}{2a},\qquad \beta=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}>0.
  • Soluções complexas são e^{(\alpha + i\beta)x} e e^{(\alpha - i\beta)x}. Essas são soluções porque, novamente,
a r^2 + b r + c = 0
para esses r, e L[e^{r x}]=e^{r x}(a r^2 + b r + c)=0.
  • Para obter duas soluções reais linearmente independentes (normalmente queremos soluções reais), toma-se as partes real e imaginária:
y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Essas duas funções são soluções reais porque são combinações lineares (parte real e imaginária) das soluções exponenciais complexas e a equação tem coeficientes reais.
  • Verificação da independência (Wronskiano): calculando (ou usando fórmula conhecida) obtém-se
W(y_1,y_2)(x)=\beta e^{2\alpha x}\neq 0
para todo x, pois \beta>0. Logo são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental.

Passo 6

Resumo prático (como aplicar na prova — passo a passo)
  1. Forme o polinômio característico \;a r^2+b r+c=0\; encontrando \Delta=b^2-4ac.
  2. Se \Delta>0: raízes reais distintas r_1,r_2 e o conjunto fundamental é \{e^{r_1 x},\,e^{r_2 x}\}.
  3. Se \Delta=0: raiz dupla r e o conjunto fundamental é \{e^{r x},\,x e^{r x}\}.
  4. Se \Delta<0: raízes \alpha\pm i\beta e o conjunto fundamental real é \{e^{\alpha x}\cos(\beta x),\,e^{\alpha x}\sin(\beta x)\}.
  • Em cada caso pode-se verificar rapidamente que as funções são soluções substituindo na equação ou usando a identidade L[e^{r x}]=e^{r x}(a r^2+b r+c) e verificando independência pelo Wronskiano.
  • Força aí — na prova siga esse roteiro, e fica mais fácil. Agora as respostas compactas.

Resposta

\Delta=b^{2}-4ac \
Se \Delta>0: y_{1}(x)=e^{r_{1}x},\;y_{2}(x)=e^{r_{2}x}, onde r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. \
Se \Delta=0: y_{1}(x)=e^{rx},\;y_{2}(x)=x e^{rx}, onde r=-\dfrac{b}{2a}. \
Se \Delta<0: y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\;y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x), onde \alpha=-\dfrac{b}{2a} e \beta=\dfrac{\sqrt{4ac-b^{2}}}{2a}.

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