Supondo que L_{\ell \mathrm{r}}^{\prime} seja zero, explique como os motores de indução atendem à demanda de torque da carga.

Passo 1

O enunciado dá apenas uma hipótese: L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0.
O que é pedido: explicar como, sob essa hipótese, os motores de indução atendem à demanda de torque da carga — isto é, como se ajusta o torque eletromagnético para igualar o torque da carga e quais são as consequências desse modelo especial.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados devagarinho):
  • Escorregamento s: diferença relativa entre a velocidade do campo girante (síncrono) e a velocidade do rotor. É definido por \;s=\dfrac{\omega_s-\omega_m}{\omega_s}, onde \omega_s é a velocidade síncrona (rad/s) e \omega_m é a velocidade mecânica do rotor (rad/s). Quando o rotor gira à mesma velocidade do campo, s=0; em partida, s=1.
  • Como o torque é gerado: o campo girante, criado pelas correntes no estator, induz uma tensão no enrolamento do rotor que gera correntes no rotor. A interação entre o fluxo do estator e as correntes do rotor cria o torque eletromagnético.
  • Parâmetros úteis (referidos ao rotor): R_r' resistência do rotor referida ao estator; L_{\ell\mathrm{r}}' indutância de fuga do rotor referida; a reatância do rotor ao escorregamento s é \;X_r'= \omega_s s L_{\ell\mathrm{r}}' (frequência da corrente do rotor é s\omega_s).

Passo 3

Derivação (passo a passo) da expressão do torque eletromagnético — forma padrão usada em cursos:
  1. Modelo do ramo rotor (por fase): impedância Z_r = R_r'/s + j X_r'. A tensão induzida no rotor (referida) é E (proporcional à tensão de alimentação e ao entreferro).
  2. Corrente no rotor (módulo): \displaystyle |I_r'|^2=\frac{E^2}{\left(\dfrac{R_r'}{s}\right)^2 + (X_r')^2}.
  3. Potência convertida (por fase) do campo magnético para o rotor (potência atravessando a lacuna): \displaystyle P_{ag,\,\text{por fase}} = |I_r'|^2\cdot\frac{R_r'}{s}.
  4. Potência mecânica desenvolvida por fase (após subtrair perdas no cobre do rotor) é \displaystyle P_{m,\text{por fase}} = |I_r'|^2\cdot\frac{R_r'}{s} - |I_r'|^2 R_r' = |I_r'|^2 R_r'\frac{1-s}{s}.
  5. Torque eletromagnético total (trifásico) relaciona potência mecânica à velocidade mecânica: \displaystyle T_e = \frac{P_m}{\omega_m}. Usando \omega_m=(1-s)\omega_s e simplificando (os detalhes algébricos abaixo) obtém-se a forma clássica:
T_e(s)=\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{R_r' s}{R_r'^2 + (s X_r')^2}.
Explicando cada símbolo:
  • T_e(s): torque eletromagnético como função do escorregamento s.
  • 3: fator das três fases.
  • E: tensão induzida no rotor referida ao estator (por fase).
  • \omega_s: velocidade síncrona (rad/s).
  • R_r': resistência do rotor referida.
  • X_r': reatância do rotor referida (igual a \omega_s s L_{\ell\mathrm{r}}').

Passo 4

Agora impondo a hipótese do enunciado: L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0. Então \;X_r'=\omega_s s L_{\ell\mathrm{r}}'=0 para todo s. Substituindo em \;T_e(s):
T_e(s)=\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{R_r' s}{R_r'^2 + (s\cdot 0)^2} =\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{R_r' s}{R_r'^2} =\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{s}{R_r'}.
Conclusão imediata: com L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 o torque eletromagnético é diretamente proporcional ao escorregamento:
T_e(s)\propto s.

Passo 5

Como o motor “atende” a carga: equilíbrio torque eletromagnético = torque da carga
  • Para uma carga que exige um torque T_{carga} (função da velocidade ou constante), o ponto de equilíbrio é solução de
T_e(s)=T_{carga}.
  • Com L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 a equação fica simples e explícita:
\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{s}{R_r'} = T_{carga} \quad\Rightarrow\quad s_{\text{eq}} = \frac{\omega_s R_r' T_{carga}}{3E^2}.
Isto diz: o rotor ajusta seu escorregamento s (isto é, reduz ou aumenta sua velocidade) até que o torque produzido pela interação rotor–campo iguale o torque da carga. Quanto maior a carga, maior o s_{\text{eq}} (mais escorregamento, rotor mais lento).

Passo 6

Limites práticos e condição de bloqueio (stall):
  • O escorregamento físico está no intervalo 0\le s\le 1 (partida: s=1; sincronismo: s=0). Portanto o torque máximo que o motor pode fornecer na faixa estática é em s=1:
T_{\max}=T_e(1)=\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{1}{R_r'}.
  • Se T_{carga}>T_{\max}, a expressão para s_{\text{eq}} s>1, o que é impossível; o motor não conseguiria acelerar até um ponto onde torque iguale a carga e portanto “trava”/estrola (stall).
  • Se T_{carga}\le T_{\max}, existe um único s_{\text{eq}}\in[0,1] dado pela fórmula acima, e o motor opera ali.

Passo 7

Estabilidade do ponto de operação:
  • A derivada \dfrac{dT_e}{ds} aqui é positiva (já que T_e\propto s). Isso implica um regime estável: se por um distúrbio a velocidade aumenta (s diminui), o torque eletromagnético diminui e fica menor que a carga, produzindo aceleração negativa (freia) que retoma o equilíbrio. Assim, com L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 não há região de “queda” do torque após um pico — o torque sobe monotonamente com s — o que evita problemas de perda de passo por operar à direita de um máximo de torque.

Passo 8

Interpretação física e observações práticas (um papo franco):
  • L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 significa acoplamento perfeito entre campo e enrolamento do rotor (sem reatância de fuga). Então as correntes do rotor ficam em fase com a tensão induzida, maximizando transferência de potência ativa por unidade de escorregamento. O resultado matemático foi T_e\propto s.
  • Na prática, L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 é impossível: sempre existe indutância de fuga e reatância. Mas o caso hipotético é útil para entender tendências: menos reatância ⇒ curva torque–escorregamento mais inclinada (torque cresce quase linearmente com s), maior corrente no rotor durante partidas, e comportamento mais “estável” (sem pico de torque limitado por reatância).
  • Também: com X_r' muito pequeno, as correntes de partida podem ser muito altas (limitadas por resistência R_r' e pela impedância do estator/rede), o que é indesejável na prática.

Resposta

Os motores atendem a demanda de torque ajustando o escorregamento s até que o torque eletromagnético iguale o torque da carga. Com L_{\ell\mathrm{r}}^{\prime}=0 tem-se a expressão simples
T_e(s)=\frac{3E^2}{\omega_s}\cdot\frac{s}{R_r'},
logo o torque cresce linearmente com s e o escorregamento de equilíbrio é
s_{\text{eq}}=\frac{\omega_s R_r' T_{carga}}{3E^2}.
O torque máximo acessível na faixa 0\le s\le1 é T_{\max}= \dfrac{3E^2}{\omega_s}\cdot\dfrac{1}{R_r'}; se T_{carga}>T_{\max} o motor não consegue seguir a carga (stall).

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