1. Supondo que \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{4}, t, t^{2}\right\rangle, determine \mathbf{r}^{\prime}(t), \mathbf{T}(1), \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) \mathrm{e} \mathbf{r}^{\prime}(t) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(t).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=\langle t^{4},\,t,\,t^{2}\rangle
e pede:
  1. \mathbf{r}'(t) (derivada primeira),
  2. \mathbf{T}(1) (vetor tangente unitário em t=1),
  3. \mathbf{r}''(t) (derivada segunda),
  4. \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) (produto vetorial entre primeira e segunda derivadas).
    Vamos usar regras de derivação componente a componente e definição de vetor tangente unitário \mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
    além da fórmula do produto vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t)=\langle t^{4},\,t,\,t^{2}\rangle em relação a t, obtemos
\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle 4t^{3},\,1,\,2t\bigr\rangle.

Passo 3

Para achar \mathbf{T}(1), primeiro avaliamos \mathbf{r}'(1) e seu comprimento:
\mathbf{r}'(1)=\langle 4,\,1,\,2\rangle, \quad \|\mathbf{r}'(1)\| =\sqrt{4^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{16+1+4} =\sqrt{21}.
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\mathbf{T}(1) =\frac{\mathbf{r}'(1)}{\|\mathbf{r}'(1)\|} =\frac{1}{\sqrt{21}}\bigl\langle 4,\,1,\,2\bigr\rangle.

Passo 4

Derivando \mathbf{r}'(t)=\langle 4t^{3},\,1,\,2t\rangle de novo, vem
\mathbf{r}''(t) =\bigl\langle 12t^{2},\,0,\,2\bigr\rangle.

Passo 5

Usamos a fórmula do produto vetorial \mathbf{a}=\langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle, \mathbf{b}=\langle b_{1},b_{2},b_{3}\rangle
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\langle a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle.
Tomando \mathbf{a}=\mathbf{r}'(t) e \mathbf{b}=\mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) =\bigl\langle 1\cdot 2 - (2t)\cdot 0,\; (2t)\cdot(4t^{3}) - (4t^{3})\cdot 2,\; 4t^{3}\cdot 0 - 1\cdot(12t^{2}) \bigr\rangle =\langle 2,\;16t^{3},\;-12t^{2}\rangle.

Resposta

\mathbf{r}'(t)=\langle 4t^{3},\,1,\,2t\rangle \mathbf{T}(1)=\tfrac{1}{\sqrt{21}}\langle 4,\,1,\,2\rangle \mathbf{r}''(t)=\langle 12t^{2},\,0,\,2\rangle \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\langle 2,\,16t^{3},\,-12t^{2}\rangle

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