1. Supondo que \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{2 t}, e^{-3 t}, t\right\rangle, determine \mathbf{r}^{\prime}(0), \mathbf{T}(0), \mathbf{r}^{\prime \prime}(0) e \mathbf{r}^{\prime}(0) \times \mathbf{r}^{\prime \prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \mathbf{r}(t)=\langle e^{2t},\,e^{-3t},\,t\rangle
e pede: a primeira derivada em t=0, o vetor tangente unitário em t=0, a segunda derivada em t=0 e o produto vetorial de \mathbf{r}'(0) com \mathbf{r}''(0). Vamos usar derivação componente a componente, norma de vetor e definição de vetor tangente unitário \mathbf{T}(t)=\mathbf{r}'(t)/\|\mathbf{r}'(t)\|, e a fórmula do produto vetorial em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\mathbf{r}'(t)=\bigl\langle 2e^{2t},\,-3e^{-3t},\,1\bigr\rangle.
Logo, em t=0,
\mathbf{r}'(0)=\langle 2,\,-3,\,1\rangle.

Passo 3

Calculemos a norma de \mathbf{r}'(0):
\|\mathbf{r}'(0)\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
O vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0)=\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} =\frac{1}{\sqrt{14}}\bigl\langle 2,\,-3,\,1\bigr\rangle.

Passo 4

Derivando \mathbf{r}'(t) para obter a segunda derivada,
\mathbf{r}''(t)=\bigl\langle 4e^{2t},\,9e^{-3t},\,0\bigr\rangle,
e em t=0 temos
\mathbf{r}''(0)=\langle 4,\,9,\,0\rangle.

Passo 5

Aplicando a definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3,
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 9 & 0 \end{vmatrix} =\langle -9,\,4,\,30\rangle.

Resposta

\mathbf{r}'(0)=\langle 2,\,-3,\,1\rangle \mathbf{T}(0)=\tfrac{1}{\sqrt{14}}\langle 2,\,-3,\,1\rangle \mathbf{r}''(0)=\langle 4,\,9,\,0\rangle \mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)=\langle -9,\,4,\,30\rangle

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