Supondo números binários sem sinal, realize as seguintes multiplicações:
1001_{2} \times 110_{2}

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar dois números binários sem sinal. Os dados são:
  • Multiplicando: 1001_{2}.
  • Multiplicador: 110_{2}.
O objetivo final é obter o produto em base binária.

Passo 2

Antes de começar, vamos entender o que significam esses números e como vamos proceder. Em binário cada dígito (bit) vale potências de dois, da direita para a esquerda:
\text{peso dos bits} = 2^{0},2^{1},2^{2},\dots
Por isso é útil saber o valor decimal para conferir o resultado:
1001_{2} = 1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=8+0+0+1=9,
110_{2} = 1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=4+2+0=6.
Como checagem rápida, o produto decimal esperado é 9\cdot6=54. No final devemos obter um binário que valha 54 em decimal.

Passo 3

Método que vamos usar (o mais direto em prova): multiplicação binária “longa”, igual ao método decimal:
  • Multiplica-se o multiplicando por cada bit do multiplicador (0 ou 1).
  • Cada parcial é o multiplicando deslocado (shift) à esquerda conforme a posição do bit (porque multiplicar por 2^{k} é deslocar k casas).
  • Soma-se todos os parciais em binário.
Exemplo rápido de regra:
  • \text{bit}=0 \Rightarrow parcial é zero.
  • \text{bit}=1 \Rightarrow parcial é o multiplicando, deslocado.

Passo 4

Vamos gerar os parciais. Escrevendo o multiplicador 110_{2} da direita para a esquerda: bits (menos significativo) 0, depois 1, depois 1 (mais significativo).
Multiplicando: 1001_{2}.
  • Para o bit menos significativo (direita), que é 0:
\text{parcial}_0 = 0 \times 1001_{2} = 0000_{2}.
  • Para o segundo bit (posição 1, valor 1): multiplicar por 1 e deslocar uma posição à esquerda (multiplicar por 2^{1}):
\text{parcial}_1 = 1 \times 1001_{2} \\ \text{shift 1} = 1001_{2}\times2 = 10010_{2}.
  • Para o terceiro bit (posição 2, valor 1): multiplicar por 1 e deslocar duas posições à esquerda (multiplicar por 2^{2}):
\text{parcial}_2 = 1 \times 1001_{2} \\ \text{shift 2} = 1001_{2}\times4 = 100100_{2}.
Agora escrevemos os parciais alinhados pelas posições menos significativas:
\begin{array}{r} \;000000_{2}\\\\ +\,010010_{2}\\\\ +\,100100_{2}\\hline \end{array}
(Coloquei zeros à esquerda para todos terem 6 dígitos, facilitando a soma.)

Passo 5

Agora somamos os parciais em binário, coluna a coluna da direita para a esquerda, lembrando que em binário 1+1=10_{2} (que é soma 0 com carry 1), e 1+1+1=11_{2} (soma 1 com carry 1).
Escrevendo as três linhas:
\begin{array}{cccccc} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ +& 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ +& 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\hline \end{array}
Soma coluna a coluna (da direita para a esquerda):
  • Coluna 1 (2^{0}): 0+0+0=0. Resultado: 0, carry 0.
  • Coluna 2 (2^{1}): 0+1+0=1. Resultado: 1, carry 0.
  • Coluna 3 (2^{2}): 0+0+0=0. Resultado: 0, carry 0.
  • Coluna 4 (2^{3}): 0+0+1=1. Resultado: 1, carry 0.
  • Coluna 5 (2^{4}): 0+1+0=1. Resultado: 1, carry 0.
  • Coluna 6 (2^{5}): 0+0+1=1. Resultado: 1, carry 0.
Juntando os dígitos da coluna mais significativa para a menos: 110110_{2}.

Passo 6

Verificação decimal rápida: converter 110110_{2} para decimal:
110110_{2}=1\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=32+16+0+4+2+0=54,
que bate com 9\cdot6=54. Portanto o cálculo está correto.

Resposta

110110_{2}

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