Um bloco de massa m desliza sem atrito ao longo de um plano inclinado de massa M que faz um ângulo alpha com a horizontal e que desliza sem atrito ao longo de uma superfície horizontal. Obtenha a lagrangeana e as equações de movimento do sistema. Determine a aceleração do plano e a aceleração do bloco em relação ao mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de massa m que desliza sem atrito em um plano inclinado de massa M. Esse plano está inclinado num ângulo alpha e também pode deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é encontrar a lagrangeana do sistema, as equações de movimento, e determinar as acelerações tanto do plano quanto do bloco em relação a ele. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente a formulação de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os coordenadas que vamos usar. Vamos considerar que o movimento do plano horizontal é na direção x, e o movimento do bloco no plano inclinado será na direção s ao longo do plano.

Passo 3

Agora, vamos expressar as posições do bloco e do plano. Se o plano move-se uma distância x para a direita, e o bloco se move uma distância s ao longo do plano inclinado, podemos relacionar essas duas posições. A posição horizontal do bloco será x + s cosalpha e a posição vertical será s sinalpha.

Passo 4

A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas do plano e do bloco. A energia cinética do plano é 12 M dotx^2, e a energia cinética do bloco tem duas partes: movimento horizontal e vertical. Então, a energia cinética do bloco é 12 m (dotx + dots cosalpha)^2 + 12 m (dots sinalpha)^2.

Passo 5

A energia potencial do sistema vem apenas do bloco, devido à gravidade. A energia potencial é V = m g s sinalpha, onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 6

A lagrangeana L é dada pela diferença entre a energia cinética total T e a energia potencial total V. Ou seja, L = T - V.

Passo 7

Agora, vamos calcular T:
T = 12 M dotx^2 + 12 m (dotx + dots cosalpha)^2 + 12 m (dots sinalpha)^2
Expandindo os termos:
T = 12 M dotx^2 + 12 m (dotx^2 + 2 dotx dots cosalpha + dots^2 cos^2alpha) + 12 m dots^2 sin^2alpha
Simplificando:
T = 12 (M + m) dotx^2 + m dotx dots cosalpha + 12 m dots^2 (cos^2alpha + sin^2alpha)
E como cos^2alpha + sin^2alpha = 1, temos:
T = 12 (M + m) dotx^2 + m dotx dots cosalpha + 12 m dots^2

Passo 8

A energia potencial V é:
V = m g s sinalpha

Passo 9

Então, a lagrangeana L fica:
L = T - V = 12 (M + m) dotx^2 + m dotx dots cosalpha + 12 m dots^2 - m g s sinalpha

Passo 10

Agora, vamos utilizar as equações de Lagrange para as coordenadas x e s. A equação de Lagrange para uma coordenada q é:
ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0
Primeiro, para x:
partial Lpartial dotx = (M + m) dotx + m dots cosalpha
ddt ( partial Lpartial dotx ) = (M + m) ddotx + m ddots cosalpha
partial Lpartial x = 0
Então, a equação de movimento para x é:
(M + m) ddotx + m ddots cosalpha = 0

Passo 11

Agora, para s:
partial Lpartial dots = m dotx cosalpha + m dots
ddt ( partial Lpartial dots ) = m ddotx cosalpha + m ddots
partial Lpartial s = - m g sinalpha
Então, a equação de movimento para s é:
m ddotx cosalpha + m ddots + m g sinalpha = 0

Passo 12

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. (M + m) ddotx + m ddots cosalpha = 0
  2. m ddotx cosalpha + m ddots + m g sinalpha = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar ddotx e ddots.

Passo 13

Podemos reescrever as equações dividindo por m:
  1. M + mm ddotx + ddots cosalpha = 0
  2. ddotx cosalpha + ddots + g sinalpha = 0
Vamos chamar a primeira equação de (A) e a segunda de (B).

Passo 14

Da equação (A):
ddots = -M + mm ddotx 1cosalpha
Substituindo na equação (B):
ddotx cosalpha - M + mm ddotx 1cosalpha + g sinalpha = 0

Passo 15

Multiplicando tudo por cosalpha para eliminar o denominador:
ddotx cos^2alpha - M + mm ddotx + g sinalpha cosalpha = 0
Isolando ddotx:
ddotx ( cos^2alpha - M + mm ) = -g sinalpha cosalpha

Passo 16

Resolvendo para ddotx:
ddotx = -g sinalpha cosalphacos^2alpha - M + mm
Simplificando:
ddotx = g sinalpha cosalphaM + mm - cos^2alpha
Multiplicando numerador e denominador por m:
ddotx = m g sinalpha cosalphaM + m - m cos^2alpha

Passo 17

Agora, substituindo ddotx na equação para ddots:
ddots = -M + mm ddotx 1cosalpha = -M + mm cdot m g sinalpha cosalphaM + m - m cos^2alpha cdot 1cosalpha
Simplificando:
ddots = -(M + m) g sinalphaM + m - m cos^2alpha

Resposta

A aceleração do plano é:
ddotx = m g sinalpha cosalphaM + m - m cos^2alpha
E a aceleração do bloco em relação ao plano é:
ddots = -(M + m) g sinalphaM + m - m cos^2alpha

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