Um bloco de massa
desliza sem atrito ao longo de um plano inclinado de massa
que faz um ângulo
com a horizontal e que desliza sem atrito ao longo de uma superfície horizontal. Obtenha a lagrangeana e as equações de movimento do sistema. Determine a aceleração do plano e a aceleração do bloco em relação ao mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um bloco de massa
que desliza sem atrito em um plano inclinado de massa
. Esse plano está inclinado num ângulo
e também pode deslizar sem atrito sobre uma superfície horizontal. Nosso objetivo é encontrar a lagrangeana do sistema, as equações de movimento, e determinar as acelerações tanto do plano quanto do bloco em relação a ele. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente a formulação de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os coordenadas que vamos usar. Vamos considerar que o movimento do plano horizontal é na direção
, e o movimento do bloco no plano inclinado será na direção
ao longo do plano.
Passo 3
Agora, vamos expressar as posições do bloco e do plano. Se o plano move-se uma distância
para a direita, e o bloco se move uma distância
ao longo do plano inclinado, podemos relacionar essas duas posições. A posição horizontal do bloco será
e a posição vertical será
.
Passo 4
A energia cinética total do sistema é a soma das energias cinéticas do plano e do bloco. A energia cinética do plano é
, e a energia cinética do bloco tem duas partes: movimento horizontal e vertical. Então, a energia cinética do bloco é
.
Passo 5
A energia potencial do sistema vem apenas do bloco, devido à gravidade. A energia potencial é
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
A lagrangeana
é dada pela diferença entre a energia cinética total
e a energia potencial total
. Ou seja,
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Expandindo os termos:
Simplificando:
E como
, temos:
Passo 8
A energia potencial
é:
Passo 9
Então, a lagrangeana
fica:
Passo 10
Agora, vamos utilizar as equações de Lagrange para as coordenadas
e
. A equação de Lagrange para uma coordenada
é:
Primeiro, para
:
Então, a equação de movimento para
é:
Passo 11
Agora, para
:
Então, a equação de movimento para
é:
Passo 12
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 13
Podemos reescrever as equações dividindo por
:
Vamos chamar a primeira equação de (A) e a segunda de (B).
Passo 14
Da equação (A):
Substituindo na equação (B):
Passo 15
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Isolando
:
Passo 16
Resolvendo para
:
Simplificando:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 17
Agora, substituindo
na equação para
:
Simplificando:
Resposta
A aceleração do plano é:
E a aceleração do bloco em relação ao plano é: