Supondo variações senoidais com o tempo em uma frequência
, como se relacionam o valor eficaz da força eletromotriz induzida, o pico do fluxo magnético que liga (contatena) uma bobina e a frequência de variação
?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede a relação entre o valor eficaz (RMS) da força eletromotriz induzida, o pico do fluxo magnético que liga (contatena) a bobina e a frequência de variação
, no caso de variações senoidais no tempo. - Informação implícita: a variação do fluxo é senoidal com frequência
. - Informação implícita: a bobina tem
espiras (se o enunciado falar em “fluxo que liga a bobina” normalmente interessa o fluxo por espira e a concatenação/fluxo ligado ).
Passo 2
Regra física fundamental que vamos usar (Faraday):
A força eletromotriz instantânea induzida numa bobina é dada por (forma diferencial de Faraday):
A força eletromotriz instantânea induzida numa bobina é dada por (forma diferencial de Faraday):
onde
é a concatenação (fluxo ligado) à bobina, com unidade
(Wb·turn).
Explicando: representa o fluxo magnético por espira
multiplicado pelo número de espiras
, isto é
. O sinal menos indica a lei de Lenz (direção da fem), mas para encontrar amplitudes e valores eficazes trabalhamos com magnitudes.
Explicando:
Passo 3
Modelo senoidal do fluxo ligado (hipótese do enunciado):
Assuma que a concatenação varia senoidalmente:
Assuma que a concatenação varia senoidalmente:
onde
é o pico (amplitude) da concatenação e
é a pulsação angular, relacionada à frequência por
Explicando:
tem a unidade Wb·turn e é o valor máximo atingido por
. A forma senoidal é a mais comum em problemas de corrente alternada.
Passo 4
Calcular a fem instantânea tomando a derivada:
Usando Faraday,
Usando Faraday,
Portanto a amplitude (valor de pico) da fem é
Observação didática: o sinal menos só inverte a fase; a amplitude absoluta é
.
Passo 5
Passar da amplitude (pico) para o valor eficaz (RMS):
Para uma tensão senoidal , o valor eficaz é
Para uma tensão senoidal
Aplicando ao nosso caso,
Explicando o que é RMS: é a “raiz quadrada da média dos quadrados” e corresponde ao valor DC que produziria a mesma potência média em uma resistência.
Passo 6
Expressões finais em termos de
e de
(fluxo por espira):
Substituindo e
obtemos duas formas equivalentes úteis:
Substituindo
Podemos simplificar o fator numérico:
logo uma forma compacta é
Passo 7
Interpretações práticas e dicas para prova:
- Se o enunciado der
(fluxo por espira) e , use para . - Se der
direto, use a fórmula com . - Alternativamente é comum escrever também em termos da tensão de pico:
e daí dividir por
para obter o RMS.
- Unidade checada:
. - Exemplo numérico rápido (para fixar): se
, , então , , e
- Na prova: escreva Faraday, assuma senóide, derive a amplitude e divida por
. Isso é curto e seguro.