Supondo variações senoidais com o tempo em uma frequência f, como se relacionam o valor eficaz da força eletromotriz induzida, o pico do fluxo magnético que liga (contatena) uma bobina e a frequência de variação f ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede a relação entre o valor eficaz (RMS) da força eletromotriz induzida, o pico do fluxo magnético que liga (contatena) a bobina e a frequência de variação f, no caso de variações senoidais no tempo.
  • Informação implícita: a variação do fluxo é senoidal com frequência f.
  • Informação implícita: a bobina tem N espiras (se o enunciado falar em “fluxo que liga a bobina” normalmente interessa o fluxo por espira \Phi e a concatenação/fluxo ligado \Lambda=N\Phi).

Passo 2

Regra física fundamental que vamos usar (Faraday):
A força eletromotriz instantânea induzida numa bobina é dada por (forma diferencial de Faraday):
e(t) = -\frac{d\Lambda(t)}{dt}
onde \Lambda(t) é a concatenação (fluxo ligado) à bobina, com unidade \text{weber}\cdot\text{espira} (Wb·turn).
Explicando: \Lambda(t) representa o fluxo magnético por espira \Phi(t) multiplicado pelo número de espiras N, isto é \Lambda(t)=N\Phi(t). O sinal menos indica a lei de Lenz (direção da fem), mas para encontrar amplitudes e valores eficazes trabalhamos com magnitudes.

Passo 3

Modelo senoidal do fluxo ligado (hipótese do enunciado):
Assuma que a concatenação varia senoidalmente:
\Lambda(t)=\Lambda_{\max}\sin(\omega t)
onde \Lambda_{\max} é o pico (amplitude) da concatenação e \omega é a pulsação angular, relacionada à frequência por
\omega = 2\pi f.
Explicando: \Lambda_{\max} tem a unidade Wb·turn e é o valor máximo atingido por \Lambda(t). A forma senoidal é a mais comum em problemas de corrente alternada.

Passo 4

Calcular a fem instantânea tomando a derivada:
Usando Faraday,
e(t) = -\frac{d}{dt}\big(\Lambda_{\max}\sin(\omega t)\big) = -\Lambda_{\max}\,\omega\cos(\omega t).
Portanto a amplitude (valor de pico) da fem é
\mathcal{E}_{\max} = \omega\,\Lambda_{\max}.
Observação didática: o sinal menos só inverte a fase; a amplitude absoluta é \omega\Lambda_{\max}.

Passo 5

Passar da amplitude (pico) para o valor eficaz (RMS):
Para uma tensão senoidal x(t)=X_{\max}\sin(\omega t+\varphi), o valor eficaz é
X_{\text{rms}} = \frac{X_{\max}}{\sqrt{2}}.
Aplicando ao nosso caso,
E_{\text{rms}} = \frac{\mathcal{E}_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{\omega\,\Lambda_{\max}}{\sqrt{2}}.
Explicando o que é RMS: é a “raiz quadrada da média dos quadrados” e corresponde ao valor DC que produziria a mesma potência média em uma resistência.

Passo 6

Expressões finais em termos de f e de \Phi_{\max} (fluxo por espira):
Substituindo \omega=2\pi f e \Lambda_{\max}=N\Phi_{\max} obtemos duas formas equivalentes úteis:
E_{\text{rms}} = \frac{2\pi f\,\Lambda_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{2\pi f\,N\Phi_{\max}}{\sqrt{2}}.
Podemos simplificar o fator numérico:
\frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,\pi,
logo uma forma compacta é
E_{\text{rms}} = \sqrt{2}\,\pi f\,\Lambda_{\max} = \sqrt{2}\,\pi f\,N\Phi_{\max}.

Passo 7

Interpretações práticas e dicas para prova:
  • Se o enunciado der \Phi_{\max} (fluxo por espira) e N, use N\Phi_{\max} para \Lambda_{\max}.
  • Se der \Lambda_{\max} direto, use a fórmula com \Lambda_{\max}.
  • Alternativamente é comum escrever também em termos da tensão de pico:
\mathcal{E}_{\max} = 2\pi f\,\Lambda_{\max},
e daí dividir por \sqrt{2} para obter o RMS.
  • Unidade checada: [f]=\text{Hz},\\ [\Lambda]=\text{Wb·turn},\\ [E_{\text{rms}}]=\text{V}.
  • Exemplo numérico rápido (para fixar): se \Phi_{\max}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{Wb}, N=100, f=50\\ \text{Hz} então \Lambda_{\max}=0{,}1\\ \text{Wb·turn}, \omega\approx 314{,}16\\ \text{rad/s}, \mathcal{E}_{\max}\approx 31{,}416\\ \text{V} e
E_{\text{rms}}\approx \frac{31{,}416}{\sqrt{2}}\approx 22{,}2\\ \text{V}.
  • Na prova: escreva Faraday, assuma senóide, derive a amplitude e divida por \sqrt{2}. Isso é curto e seguro.

Resposta

E_{\text{rms}} = \frac{\omega\,\Lambda_{\max}}{\sqrt{2}} = \frac{2\pi f\,\Lambda_{\max}}{\sqrt{2}}
E_{\text{rms}} = \frac{2\pi f\,N\Phi_{\max}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,\pi f\,N\Phi_{\max}

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