Supondo que você consiga os recursos para construir a curva inclinada, o limite de velocidade poderia ser aumentado, porém carros (ou, mais provavelmente, caminhões) poderiam tombar se parassem em uma curva muito inclinada. Como você poderia determinar o ângulo ideal para construir essa curva? Encontre um valor numérico estudando cenários extremos e explicando claramente o raciocínio por trás do seu resultado.

Passo 1

O problema pede o ângulo de superelevação (inclinação transversal da pista) que permita uma maior velocidade de projeto na curva sem depender de atrito e, ao mesmo tempo, não seja tão grande a ponto de veículos—especialmente caminhões—tombarem quando parados. Vamos usar dois cenários extremos:
1. Condição de equilíbrio na curva em movimento (força centrípeta fornecida pela normal inclinada).
2. Condição de equilíbrio parado (limite de tombamento por geometria do veículo).

Passo 2

Na curva em velocidade v e de raio r, a força centrípeta m\,v^2/r deve vir da componente horizontal da normal N. Se a pista estiver inclinada de um ângulo \varphi, temos
\tan(\varphi) \;=\;\frac{\text{componente horizontal de }N}{\text{componente vertical de }N} \;=\;\frac{m\,v^2/r}{m\,g} \;=\;\frac{v^2}{r\,g}\,.
Logo, para que nenhum atrito seja necessário, basta projetar
\varphi \;=\;\arctan\bigl(\tfrac{v^2}{r\,g}\bigr).

Passo 3

No caso parado, o risco é tombar em torno da roda exterior. Isso ocorre quando o vetor peso m\,g cai fora da base de sustentação, de largura t (distância entre rodas). Se a altura do centro de gravidade for h, o ângulo crítico de tombamento satisfaz
\tan(\phi_{\max}) \;=\;\frac{t/2}{h}.
Para \varphi>\phi_{\max}, um veículo de largura t e altura de CG h tombaria mesmo em repouso.

Passo 4

Vamos estimar numericamente para veículos pesados (pior caso):
  • Largura t=2{,}5,m
  • Altura do CG h=2{,}0,m
Então
\tan(\phi_{\max}) = \frac{2{,}5/2}{2{,}0} = \frac{1{,}25}{2{,}0} = 0{,}625, \quad \phi_{\max} = \arctan(0{,}625)\approx 32^\circ.
Carros baixos podem aguentar até \sim 58^\circ, mas o caminhão define o teto: \phi_{\max}\approx32^\circ.

Passo 5

Escolhendo um exemplo prático: se quisermos projetar a via para v=150,km/h ( 41{,}7,m/s) e o raio for r=800,m, então
\tan(\varphi) = \frac{41{,}7^2}{800\cdot 9{,}8}\approx0{,}222, \quad \varphi = \arctan(0{,}222)\approx12{,}5^\circ.
Esse \varphi\approx12{,}5^\circ é bem abaixo de 32^\circ, logo nenhum caminhão tombaria sequer parado, e dá centrípeta suficiente para 150,km/h sem atrito.

Resposta

Um valor prático de projeto é cerca de \varphi\approx12^\circ, pois atende à condição de força centrípeta para velocidades de até \sim150,km/h num raio de curva típico e fica muito abaixo do limite de tombamento de caminhões ( \approx32^\circ).

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