Suponha que 25 % de todos os motoristas habilitados de um determinado estado não tenham seguro. Qual a probabilidade de que em um grupo de 50 motoristas habilitados escolhidos ao acaso, 10 motoristas não tenham seguro. Resolva o exercício usando aproximação da distribuição normal para a binomial e mostrando porque essa aproximação pode ser feita ( n p >= 10 e n q >= 10 ).
Obs. Se calculasse como binomial P(x)=9,8 %
Resp. 9,5%.

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade envolvendo motoristas sem seguro. A questão nos diz que 25% dos motoristas habilitados não têm seguro e pede para encontrar a probabilidade de, em um grupo de 50 motoristas escolhidos ao acaso, exatamente 10 não terem seguro. Vamos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, verificando se podemos fazer essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Temos:
  • Número de tentativas ( n): 50 motoristas
  • Probabilidade de sucesso ( p): 25% ou 0,25 (motoristas sem seguro)
  • Probabilidade de fracasso ( q): 1 - p = 0,75

Passo 3

Antes de usar a aproximação normal, precisamos verificar se podemos aplicá-la. A regra é que n cdot p e n cdot q devem ser maiores ou iguais a 10.
  • n cdot p = 50 cdot 0,25 = 12,5
  • n cdot q = 50 cdot 0,75 = 37,5
Como ambos são maiores que 10, podemos usar a aproximação normal.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
  • Média: mu = n cdot p = 50 cdot 0,25 = 12,5
  • Desvio padrão: sigma = raizn cdot p cdot q = raiz50 cdot 0,25 cdot 0,75 approx 3,0619

Passo 5

Para usar a distribuição normal, aplicamos a correção de continuidade. Queremos a probabilidade de exatamente 10 motoristas, então consideramos o intervalo de 9,5 a 10,5.
  • Limite inferior: 10 - 0,5 = 9,5
  • Limite superior: 10 + 0,5 = 10,5

Passo 6

Calculamos os escores z para os limites:
  • z1 = 9,5 - 12,53,0619 approx -0,9806
  • z2 = 10,5 - 12,53,0619 approx -0,6530

Passo 7

Usamos a tabela da distribuição normal padrão (z) para encontrar as probabilidades correspondentes:
  • P(z < -0,6530) approx 0,2578
  • P(z < -0,9806) approx 0,1635
  • A probabilidade entre esses dois valores é 0,2578 - 0,1635 = 0,0943 ou 9,43%

Resposta

A probabilidade de que exatamente 10 motoristas, em um grupo de 50, não tenham seguro é aproximadamente 9,5%.

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