Suponha que 0,550 \mathrm{~mol} de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação? (1,5pt)
Temperatura (\mathrm{K}) 350, Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,200, Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800
Situação (\mathbf{a}) (\mathbf{b}) (\mathbf{c}) (\mathbf{d}) (\mathbf{e})
Temperatura (\mathrm{K}) 250 350 400 450 500
Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,100 0,200 0,300 0,400 0,400
Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800 0,800 1,200 1,200 1,200

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado.
  • Pedido: calcular a variação de entropia do gás, \Delta S, para cada situação (\text{a}),(\text{b}),(\text{c}),(\text{d}),(\text{e}).
  • Quantidades fornecidas (peguei estes números do enunciado e da tabela):
    • Quantidade de matéria: n=0,550\\ \text{mol}.
    • Constante dos gases: R=8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1} (valor usado nas contas).
    • Tabela (temperatura e volumes iniciais/finais, unidades de \text{cm}^3; observe que a razão V_f/V_i é adimensional, então não é necessário converter unidades):
      • Situação (a): T=250\\ \text{K}, V_i=0,100\\ \text{cm}^3, V_f=0,800\\ \text{cm}^3.
      • Situação (b): T=350\\ \text{K}, V_i=0,200\\ \text{cm}^3, V_f=0,800\\ \text{cm}^3.
      • Situação (c): T=400\\ \text{K}, V_i=0,300\\ \text{cm}^3, V_f=1,200\\ \text{cm}^3.
      • Situação (d): T=450\\ \text{K}, V_i=0,400\\ \text{cm}^3, V_f=1,200\\ \text{cm}^3.
      • Situação (e): T=500\\ \text{K}, V_i=0,400\\ \text{cm}^3, V_f=1,200\\ \text{cm}^3.

Passo 2

Fórmula geral para a variação de entropia numa expansão isotérmica reversível de gás ideal — dedução passo a passo.
  • por definição termodinâmica, a variação de entropia diferencial para um processo reversível é dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura (em \text{K}).
  • Em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a temperatura constante, a energia interna U do gás não varia ( \Delta U=0). Pelha primeira lei, \delta Q_{\text{rev}} = dU + \delta W = 0 + \delta W.
  • O trabalho reversível realizado pelo gás em uma pequena expansão é \delta W = p\,dV. Usando a equação de estado do gás ideal p=\dfrac{nRT}{V}, obtém-se \delta Q_{\text{rev}} = p\,dV = \frac{nRT}{V}\,dV.
  • Substituindo em dS, dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\frac{nRT}{V}\cdot\frac{dV}{T}=nR\,\frac{dV}{V}.
  • Integrando entre V_i e V_f (T constante, n,R constantes): \Delta S=\int_{S_i}^{S_f} dS = nR\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Explicando as variáveis:
    • n é o número de mols do gás ( \text{mol}).
    • R é a constante dos gases ideais ( \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}).
    • V_i e V_f são volumes inicial e final (qualquer unidade consistente; aqui em \text{cm}^3, que se cancelam na razão).
    • \Delta S tem unidades de \text{J}\,\text{K}^{-1}.
Observação importante: a temperatura não aparece na expressão final — para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal, \Delta S depende apenas da razão V_f/V_i e de n.

Passo 3

Calcular o fator nR (mostrando o cálculo numérico).
  • Compute nR: nR = 0,550\times 8,314 \approx 4,573\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.(usei R=8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\text{K}^{-1}; o produto foi arredondado às três casas significativas como 4,573.)

Passo 4

Determinar as razões V_f/V_i e expressar \Delta S simbolicamente para cada situação.
  • Situação (a): \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{0,800}{0,100}=8. Logo
    \Delta S_a = nR\ln(8).
    Observação: \ln(8)=3\ln 2.
  • Situação (b): \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{0,800}{0,200}=4. Logo
    \Delta S_b = nR\ln(4)=nR\cdot 2\ln 2.
  • Situação (c): \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{1,200}{0,300}=4. Logo
    \Delta S_c = nR\ln(4).
  • Situação (d): \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{1,200}{0,400}=3. Logo
    \Delta S_d = nR\ln(3).
  • Situação (e): mesma razão que (d), \dfrac{V_f}{V_i}=3. Logo
    \Delta S_e = nR\ln(3).

Passo 5

Cálculo numérico final (usar \,nR\approx 4,573\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}) e valores dos logaritmos naturais.
  • Valores aproximados usados:
    • \ln 2 \approx 0,693147.
    • \ln 4 = 2\ln 2 \approx 1,386294.
    • \ln 8 = 3\ln 2 \approx 2,079442.
    • \ln 3 \approx 1,098612.
  • Agora multiplico nR pelos logaritmos:
    \Delta S_a \approx 4,573\times 2,079442 \approx 9,509\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
\Delta S_b \approx 4,573\times 1,386294 \approx 6,339\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
\Delta S_c \approx 4,573\times 1,386294 \approx 6,339\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
\Delta S_d \approx 4,573\times 1,098612 \approx 5,024\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
\Delta S_e \approx 4,573\times 1,098612 \approx 5,024\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}.
  • Comentário prático: perceba que (b) e (c) têm a mesma variação de entropia porque têm a mesma razão V_f/V_i=4; e (d) e (e) também coincidem porque têm V_f/V_i=3. A temperatura (diferente em cada situação) não altera \Delta S na expansão isotérmica reversível do gás ideal.

Resposta

(a) \Delta S \approx 9,509\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(b) \Delta S \approx 6,339\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(c) \Delta S \approx 6,339\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(d) \Delta S \approx 5,024\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}
(e) \Delta S \approx 5,024\\ \text{J}\,\text{K}^{-1}

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