Suponha que
de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação? (1,5pt)
Temperatura
350, Volume inicial
0,200, Volume final
0,800
Situação
Temperatura
250
350
400
450
500
Volume inicial
0,100
0,200
0,300
0,400
0,400
Volume final
0,800
0,800
1,200
1,200
1,200
Temperatura
| Situação |
|
|
|
|
|
| Temperatura
|
250 | 350 | 400 | 450 | 500 |
| Volume inicial
|
0,100 | 0,200 | 0,300 | 0,400 | 0,400 |
| Volume final
|
0,800 | 0,800 | 1,200 | 1,200 | 1,200 |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já foi dado.
- Pedido: calcular a variação de entropia do gás,
, para cada situação . - Quantidades fornecidas (peguei estes números do enunciado e da tabela):
- Quantidade de matéria:
. - Constante dos gases:
(valor usado nas contas). - Tabela (temperatura e volumes iniciais/finais, unidades de
; observe que a razão é adimensional, então não é necessário converter unidades): - Situação (a):
, , . - Situação (b):
, , . - Situação (c):
, , . - Situação (d):
, , . - Situação (e):
, , .
- Situação (a):
- Quantidade de matéria:
Passo 2
Fórmula geral para a variação de entropia numa expansão isotérmica reversível de gás ideal — dedução passo a passo.
- por definição termodinâmica, a variação de entropia diferencial para um processo reversível é
onde é o calor trocado reversivelmente e é a temperatura (em ). - Em uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a temperatura constante, a energia interna
do gás não varia ( ). Pelha primeira lei, - O trabalho reversível realizado pelo gás em uma pequena expansão é
. Usando a equação de estado do gás ideal , obtém-se - Substituindo em
, - Integrando entre
e (T constante, constantes): - Explicando as variáveis:
-
é o número de mols do gás ( ). -
é a constante dos gases ideais ( ). -
e são volumes inicial e final (qualquer unidade consistente; aqui em , que se cancelam na razão). -
tem unidades de .
-
Observação importante: a temperatura não aparece na expressão final — para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal,
depende apenas da razão
e de
.
Passo 3
Calcular o fator
(mostrando o cálculo numérico).
- Compute
: (usei ; o produto foi arredondado às três casas significativas como .)
Passo 4
Determinar as razões
e expressar
simbolicamente para cada situação.
-
Situação (a):
. Logo Observação:. -
Situação (b):
. Logo -
Situação (c):
. Logo -
Situação (d):
. Logo -
Situação (e): mesma razão que (d),
. Logo
Passo 5
Cálculo numérico final (usar
) e valores dos logaritmos naturais.
-
Valores aproximados usados:
-
. -
. -
. -
.
-
-
Agora multiplico
pelos logaritmos:
- Comentário prático: perceba que (b) e (c) têm a mesma variação de entropia porque têm a mesma razão
; e (d) e (e) também coincidem porque têm . A temperatura (diferente em cada situação) não altera na expansão isotérmica reversível do gás ideal.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)