Suponha que 0,550 \mathrm{~mol} de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação? (1,5pt)
Temperatura (\mathrm{K}) 250, Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,100, Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800
Situação (\mathbf{a}) (\mathbf{b}) (\mathbf{c}) (\mathbf{d}) (\mathbf{e})
Temperatura (\mathrm{K}) 250 350 400 450 500
Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,100 0,200 0,300 0,400 0,400
Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800 0,800 1,200 1,200 1,200

Passo 1

O enunciado pede: calcular a variação de entropia do gás, \Delta S, para cada situação listada (a)–(e), sabendo que o processo é isotérmico e reversível. As informações fornecidas são:
  • Número de mols: n=0,550\\ \mathrm{mol}.
  • Constante dos gases: vou usar R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} (explico por que adiante).
  • Para cada situação os valores são (peguei estes dados da tabela do enunciado):
    • (a) T=250\\ \mathrm{K}, V_i=0,100\\ \mathrm{cm}^3, V_f=0,800\\ \mathrm{cm}^3.
    • (b) T=350\\ \mathrm{K}, V_i=0,200\\ \mathrm{cm}^3, V_f=0,800\\ \mathrm{cm}^3.
    • (c) T=400\\ \mathrm{K}, V_i=0,300\\ \mathrm{cm}^3, V_f=1,200\\ \mathrm{cm}^3.
    • (d) T=450\\ \mathrm{K}, V_i=0,400\\ \mathrm{cm}^3, V_f=1,200\\ \mathrm{cm}^3.
    • (e) T=500\\ \mathrm{K}, V_i=0,400\\ \mathrm{cm}^3, V_f=1,200\\ \mathrm{cm}^3.
O que se pede em cada caso: calcular \Delta S do gás (em \mathrm{J\,K^{-1}}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas para a prova):
  • Para um processo isotérmico e reversível do gás ideal a temperatura constante T, a variação de entropia do gás é dada por
\Delta S=\frac{q_{\text{rev}}}{T},
onde q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente.
  • Para um gás ideal num processo isotérmico reversível, o trabalho realizado pelo gás é
w_{\text{rev}}=-nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Como o processo é isotérmico, a energia interna não muda ( \Delta U=0), então q_{\text{rev}}=-w_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Substituindo em \Delta S=q_{\text{rev}}/T obtemos a fórmula muito usada:
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando cada símbolo:
  • n = número de mols do gás (aqui 0,550).
  • R = constante universal dos gases em unidades de energia por mol por temperatura ( 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • V_i e V_f = volumes inicial e final (qualquer unidade cancelará na razão \dfrac{V_f}{V_i}, desde que sejam as mesmas).
  • \ln = logaritmo natural (base e).
Observação prática útil para prova: não é preciso converter \mathrm{cm}^3 para \mathrm{m}^3 porque apenas a razão V_f/V_i aparece; a unidade cancela. Só cuide para que V_f e V_i estejam na mesma unidade.

Passo 3

Calculo o fator nR (é útil calcular uma vez só e reutilizar):
nR = 0,550\times 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} = 4,5727\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Vou usar esse valor para multiplicar os \ln(V_f/V_i) de cada situação.

Passo 4

Situação (a): calcular a razão de volumes e \Delta S.
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0,800}{0,100}=8,\qquad \ln(8)=3\ln 2\approx 2,0794415.
Aplicando a fórmula:
\Delta S_{(a)} = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=4,5727\times 2,0794415\approx 9,509\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Situação (b): razão de volumes e \Delta S.
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0,800}{0,200}=4,\qquad \ln(4)=2\ln 2\approx 1,3862944.
\Delta S_{(b)} = 4,5727\times 1,3862944\approx 6,339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Situação (c): razão de volumes e \Delta S.
\frac{V_f}{V_i}=\frac{1,200}{0,300}=4,\qquad \ln(4)\approx 1,3862944.
Portanto (mesma razão que em (b)):
\Delta S_{\text{(c)}} = 4,5727\times 1,3862944\approx 6,339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Situação (d): razão de volumes e \Delta S.
\frac{V_f}{V_i}=\frac{1,200}{0,400}=3,\qquad \ln(3)\approx 1,0986123.
\Delta S_{(d)} = 4,5727\times 1,0986123\approx 5,024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 8

Situação (e): razão de volumes e \Delta S.
\frac{V_f}{V_i}=\frac{1,200}{0,400}=3,\qquad \ln(3)\approx 1,0986123.
Portanto (mesma razão que em (d)):
\Delta S_{(e)} = 4,5727\times 1,0986123\approx 5,024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 9

Comentário final (dica de prova e interpretação rápida):
  • Note que \Delta S = nR\ln(V_f/V_i) não depende de T na expressão final: para uma expansão isotérmica reversível de gás ideal, a variação de entropia depende apenas da razão de volumes. Por isso situações com a mesma razão V_f/V_i (como (b) e (c), ou (d) e (e)) tiveram o mesmo \Delta S apesar de temperaturas diferentes.
  • Use sempre a razão de volumes com a mesma unidade e calcule \ln natural. Se no caderno estiver difícil com calculadora, reconheça potências de 2 e 3 quando possível (ex.: 8=2^3, 4=2^2) para simplificar o \ln.

Resposta

\Delta S_{(a)}\;=\;9,51\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(b)}\;=\;6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{\text{(c)}}\;=\;6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(d)}\;=\;5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(e)}\;=\;5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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