Três crianças, cada uma pesando
, constroem uma jangada amarrando toras de madeira de
de diâmetro e 1,77 de comprimento. Quantas toras serão necessárias para manter as crianças à tona? Considere a densidade da madeira como sendo
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas toras (cilíndricas) são necessárias para manter três crianças à tona, sabendo os dados a seguir.
Informações fornecidas:
- Peso de cada criança:
. - Número de crianças:
. - Diâmetro de cada tora:
. - Comprimento (altura) de cada tora:
. - Densidade da madeira:
.
O que se pede:
- Quantas toras são necessárias para que a jangada (as toras amarradas) mantenha as três crianças à tona.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado de forma didática):
-
Princípio de Arquimedes: a força de empuxo que um corpo imerso num fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo. Ou seja, empuxo
, onde: -
é a densidade da água (vamos usar ), -
é o volume de água deslocado, -
é a aceleração da gravidade (vamos usar ).
-
-
Para as toras amarradas formando a jangada: a flutuabilidade deve equilibrar o peso das crianças mais o peso das próprias toras. A máxima força de empuxo que
toras pode oferecer (quando elas estiverem totalmente submersas) é igual ao peso do volume de água igual ao volume total das toras: . Deste empuxo, uma parte sustenta o próprio peso das toras ( ); a diferença é a carga útil máxima (peso adicional que as toras podem suportar, isto é, as crianças): - Aqui
, onde é o volume de uma tora.
- Aqui
Logo, para suportar o peso total das crianças
precisamos que
Dessa desigualdade, isolamos
:
Observação importante e prática:
deve ser um inteiro; se der um valor não inteiro, arredonda-se para cima (pois não dá para usar fração de tora).
Passo 3
Calcular o peso total das três crianças:
Passo 4
Calcular o volume de uma tora (cilindro). Fórmula do volume de um cilindro:
onde
é o diâmetro e
o comprimento.
Substituindo os valores (tudo em unidades do SI):
Calcule passo a passo:
Passo 5
Calcular a capacidade de carga útil (peso adicional suportado) de uma tora:
Substituindo
,
,
e
:
(Isto significa que cada tora, além de sustentar o próprio peso, pode aguentar aproximadamente
de carga extra — ou seja, o peso das crianças.)
Passo 6
Calcular o número mínimo de toras:
Como
deve ser inteiro e suficiente para suportar o peso, arredondamos para cima:
- é necessário usar
toras.