Três crianças, cada uma pesando 366,5 \mathrm{~N}, constroem uma jangada amarrando toras de madeira de 0,32 \mathrm{~m} de diâmetro e 1,77 de comprimento. Quantas toras serão necessárias para manter as crianças à tona? Considere a densidade da madeira como sendo 757,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas toras (cilíndricas) são necessárias para manter três crianças à tona, sabendo os dados a seguir.
Informações fornecidas:
  • Peso de cada criança: \,366{,}5\\ \mathrm{N}.
  • Número de crianças: 3.
  • Diâmetro de cada tora: \,0{,}32\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento (altura) de cada tora: \,1{,}77\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da madeira: \,\rho_{\text{madeira}}=757{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O que se pede:
  • Quantas toras são necessárias para que a jangada (as toras amarradas) mantenha as três crianças à tona.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Princípio de Arquimedes: a força de empuxo que um corpo imerso num fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo. Ou seja, empuxo = \rho_{\text{água}} \, V_{\text{deslocado}} \, gá, onde:
    • \rho_{\text{água}}á é a densidade da água (vamos usar \,1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
    • V_{\text{deslocado}} é o volume de água deslocado,
    • g é a aceleração da gravidade (vamos usar \,9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Para as toras amarradas formando a jangada: a flutuabilidade deve equilibrar o peso das crianças mais o peso das próprias toras. A máxima força de empuxo que n toras pode oferecer (quando elas estiverem totalmente submersas) é igual ao peso do volume de água igual ao volume total das toras: \rho_{\text{água}}\,V_{\text{total}}\;gá. Deste empuxo, uma parte sustenta o próprio peso das toras ( \rho_{\text{madeira}}\,V_{\text{total}}\,g); a diferença é a carga útil máxima (peso adicional que as toras podem suportar, isto é, as crianças):
    W_{\text{suportado}} = \bigl(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}}\bigr)\,V_{\text{total}}\,g.á
    • Aqui V_{\text{total}} = n\,V_{\text{tora}}, onde V_{\text{tora}} é o volume de uma tora.
Logo, para suportar o peso total das crianças (W_{\text{crianças}})ç precisamos que
W_{\text{crianças}} \le \bigl(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}}\bigr)\,n\,V_{\text{tora}}\,g.çá
Dessa desigualdade, isolamos n:
n \ge \frac{W_{\text{crianças}}}{\bigl(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}}\bigr)\,V_{\text{tora}}\,g}.çá
Observação importante e prática: n deve ser um inteiro; se der um valor não inteiro, arredonda-se para cima (pois não dá para usar fração de tora).

Passo 3

Calcular o peso total das três crianças:
W_{\text{crianças}} = 3 \times 366{,}5\\ \mathrm{N} = 1099{,}5\\ \mathrm{N}.ç

Passo 4

Calcular o volume de uma tora (cilindro). Fórmula do volume de um cilindro:
V_{\text{tora}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} L,
onde d é o diâmetro e L o comprimento.
Substituindo os valores (tudo em unidades do SI):
V_{\text{tora}} = \pi \left(0{,}16\right)^{2}\cdot 1{,}77.
Calcule passo a passo:
\left(0{,}16\right)^{2} = 0{,}0256,
0{,}0256 \times 1{,}77 = 0{,}045312,
V_{\text{tora}} = \pi \times 0{,}045312 \approx 0{,}142344\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular a capacidade de carga útil (peso adicional suportado) de uma tora:
W_{\text{sup}}^{(1)} = \bigl(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}}\bigr)\,V_{\text{tora}}\,g.á
Substituindo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á, \rho_{\text{madeira}}=757{,}7\\ \mathrm{kg/m^{3}}, V_{\text{tora}}\approx 0{,}142344\\ \mathrm{m^{3}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}} = 1000 - 757{,}7 = 242{,}3\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
W_{\text{sup}}^{(1)} \approx 242{,}3 \times 0{,}142344 \times 9{,}8 \\ \mathrm{N} \approx 338{,}0\\ \mathrm{N}.
(Isto significa que cada tora, além de sustentar o próprio peso, pode aguentar aproximadamente \,338{,}0\\ \mathrm{N} de carga extra — ou seja, o peso das crianças.)

Passo 6

Calcular o número mínimo de toras:
n \ge \frac{W_{\text{crianças}}}{W_{\text{sup}}^{(1)}} = \frac{1099{,}5}{338{,}0} \approx 3{,}25.ç
Como n deve ser inteiro e suficiente para suportar o peso, arredondamos para cima:
  • é necessário usar n=4 toras.

Resposta

4 toras

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