Suponha que 0,550 \mathrm{~mol} de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação? (1,5pt)
Temperatura (\mathrm{K}) 500, Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,400, Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 1,200
Situação (\mathbf{a}) (\mathbf{b}) (\mathbf{c}) (\mathbf{d}) (\mathbf{e})
Temperatura (\mathrm{K}) 250 350 400 450 500
Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,100 0,200 0,300 0,400 0,400
Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800 0,800 1,200 1,200 1,200

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a variação de entropia do gás, \Delta S, para cada situação listada na tabela.
Dados fornecidos (peguei os números da tabela enviada):
  • Quantidade de substância: n = 0,550\\ \mathrm{mol}.
  • Constante dos gases ideais: R = 8,3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} (valor padrão que vamos usar).
  • Situações (peguei estes valores da tabela):
    • Situação (a): T=250\\ \mathrm{K}, V_i=0{,}100\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=0{,}800\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (b): T=350\\ \mathrm{K}, V_i=0{,}200\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=0{,}800\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (c): T=400\\ \mathrm{K}, V_i=0{,}300\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1{,}200\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (d): T=450\\ \mathrm{K}, V_i=0{,}400\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1{,}200\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (e): T=500\\ \mathrm{K}, V_i=0{,}400\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1{,}200\\ \mathrm{cm^{3}}.
Observação importante (que já é útil): as unidades de volume são as mesmas em V_i e V_f dentro de cada situação (ambas em \mathrm{cm^{3}}), então a razão V_f/V_i é adimensional — ótimo, porque o logaritmo exige isso.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê?
  • Para uma expansão isotérmica e reversível de um gás ideal, a variação de entropia do gás é dada por
\Delta S = \frac{q_{\mathrm{rev}}}{T}.
  • Numa transformação isotérmica reversível de gás ideal, o calor trocado é q_{\mathrm{rev}} = nR T \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right). Substituindo em \Delta S e dividindo por T (que é constante) obtemos a forma prática e muito usada:
\Delta S = n R \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \Delta S é a variação de entropia do sistema (unidade \mathrm{J\,K^{-1}}).
  • n é o número de mols do gás (aqui n=0{,}550\\ \mathrm{mol}).
  • R é a constante universal dos gases ( 8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}).
  • V_i e V_f são os volumes inicial e final (a razão V_f/V_i deve ser adimensional).
  • \ln é o logaritmo natural.
Observação didática: repare que a temperatura T NÃO aparece explicitamente no resultado final — a entropia da expansão isotérmica de um gás ideal depende apenas de n, R e da razão de volumes. Isso é porque, em processo isotérmico, q_{\mathrm{rev}} é proporcional a T e depois dividimos por T.

Passo 3

Calcular o fator comum nR que aparece em todas as situações (facilita os cálculos e evita repetições).
nR = 0{,}550 \times 8{,}3145 = 4{,}572975\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Vou usar nR = 4{,}572975\\ \mathrm{J\,K^{-1}} nas contas seguintes.

Passo 4

Calcular \Delta S para a situação (a).
  • Primeiro a razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{0{,}800}{0{,}100} = 8.
  • Usando a fórmula:
\Delta S_{(a)} = nR\ln\!\left(8\right).
  • Sabendo que \ln(8)=\ln(2^3)=3\ln 2 e \ln 2 \approx 0{,}693147, então \ln(8)\approx 2{,}079441542.
  • Multiplicando:
\Delta S_{(a)} = 4{,}572975 \times 2{,}079441542 \approx 9{,}509\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Calcular \Delta S para a situação (b).
  • Razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{0{,}800}{0{,}200} = 4.
  • Fórmula:
\Delta S_{(b)} = nR\ln\!\left(4\right).
  • \ln(4)=\ln(2^2)=2\ln 2 \approx 1{,}386294361.
  • Multiplicando:
\Delta S_{(b)} = 4{,}572975 \times 1{,}386294361 \approx 6{,}339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 6

Calcular \Delta S para a situação (c).
  • Razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{1{,}200}{0{,}300} = 4.
  • Isso é igual ao caso (b), logo:
\Delta S_{\text{(c)}} = nR\ln\!\left(4\right) \approx 6{,}339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 7

Calcular \Delta S para a situação (d).
  • Razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{1{,}200}{0{,}400} = 3.
  • Fórmula:
\Delta S_{(d)} = nR\ln\!\left(3\right).
  • \ln(3)\approx 1{,}098612289.
  • Multiplicando:
\Delta S_{(d)} = 4{,}572975 \times 1{,}098612289 \approx 5{,}024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 8

Calcular \Delta S para a situação (e).
  • Razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i} = \frac{1{,}200}{0{,}400} = 3,
mesma razão que em (d). Portanto:
\Delta S_{(e)} = nR\ln\!\left(3\right) \approx 5{,}024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Resposta

\Delta S_{(a)} = 9{,}509\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(b)} = 6{,}339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{\text{(c)}} = 6{,}339\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(d)} = 5{,}024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta S_{(e)} = 5{,}024\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

Exercícios relacionados