Suponha que 0,550 \mathrm{~mol} de um gás ideal seja expandido isotérmica e reversivelmente nas quatro situações da tabela a seguir. Qual é a variação da entropia do gás para cada situação? (1,5pt)
Temperatura (\mathrm{K}) 400, Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,300, Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 1,200
Situação (\mathbf{a}) (\mathbf{b}) (\mathbf{c}) (\mathbf{d}) (\mathbf{e})
Temperatura (\mathrm{K}) 250 350 400 450 500
Volume inicial \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,100 0,200 0,300 0,400 0,400
Volume final \left(\mathrm{cm}^{3}\right) 0,800 0,800 1,200 1,200 1,200

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • Pergunta: Calcular a variação de entropia do gás, \Delta S, para cada situação da tabela, sabendo que a expansão é isotérmica e reversível.
  • Informação sobre a amostra (dada no enunciado): n=0,550 mol de gás ideal.
  • Informação geral (unidades de volume na tabela): volumes estão em \mathrm{cm^{3}}. Observação: para \Delta S na expressão que vamos usar só aparece a razão V_f/V_i, por isso a unidade dos volumes cancela — não é necessário converter para \mathrm{m^{3}}.
  • Dados da tabela (peguei estes números da tabela enviada):
    • Situação (a): T=250\\ \mathrm{K}, V_i=0,100\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=0,800\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (b): T=350\\ \mathrm{K}, V_i=0,200\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=0,800\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação \text{(c)}: T=400\\ \mathrm{K}, V_i=0,300\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1,200\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (d): T=450\\ \mathrm{K}, V_i=0,400\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1,200\\ \mathrm{cm^{3}}.
    • Situação (e): T=500\\ \mathrm{K}, V_i=0,400\\ \mathrm{cm^{3}}, V_f=1,200\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e didática).
  • Definição termodinâmica de entropia: para um processo reversível infinitesimal, a variação de entropia é \delta S = \dfrac{\delta q_{\text{rev}}}{T}. Para a variação total entre estados inicial e final:
\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\delta q_{\text{rev}}}{T}.
  • No caso de um gás ideal que sofre uma transformação isotérmica reversível:
    • A energia interna U do gás ideal depende apenas da temperatura; assim, para processo isotérmico temos \Delta U=0.
    • Pela primeira lei, \delta q_{\text{rev}} = \dfrac{}{} \Delta U + \delta w_{\text{rev}} = 0 + \delta w_{\text{rev}} = p\,dV (trabalhamos em diferencial).
    • Como é gás ideal, p=\dfrac{nR T}{V}. Portanto
\delta q_{\text{rev}} = p\,dV = \frac{nR T}{V}\,dV.
  • Substituindo em \Delta S:
\Delta S=\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{T}\left(\frac{nR T}{V}\,dV\right)=nR\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}
\Delta S = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Explicando a fórmula: n é a quantidade de matéria em mol; R é a constante universal dos gases perfeitos (vou usar R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}); V_i e V_f são volumes inicial e final; o resultado tem unidades de \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Observação prática: a temperatura T da transformação não entra explicitamente na expressão final — por isso transformações isotérmicas a temperaturas diferentes, com o mesmo V_f/V_i, dão a mesma \Delta S.

Passo 3

Preparar cálculo: avaliar as razões V_f/V_i para cada situação e calcular \ln(V_f/V_i).
  • Situação (a):
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0,800}{0,100}=8,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(8)=2,079441541.
  • Situação (b):
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0,800}{0,200}=4,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(4)=1,386294361.
  • Situação \text{(c)}:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{1,200}{0,300}=4,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(4)=1,386294361.
  • Situação (d):
\frac{V_f}{V_i}=\frac{1,200}{0,400}=3,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(3)=1,098612289.
  • Situação (e): mesma razão que (d),
\frac{V_f}{V_i}=3,\qquad \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=1,098612289.
(Dica para a prova: reconhecer potências de 2 e 3 ajuda — por ex. \ln(8)=3\ln 2, \ln(4)=2\ln 2, uso rápido de \ln 2\approx0,693147.)

Passo 4

Cálculo numérico de \Delta S usando \Delta S = nR\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right) com n=0,550 mol e R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Vou calcular cada situação passo a passo (mostrando a multiplicação em detalhes para ficar fácil de repetir na prova).
  • Situação (a):
\Delta S_a = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=0,550\cdot 8,314\cdot 2,079441541.
Primeiro 8,314\cdot 2,079441541 \approx 17,2878. Então
\Delta S_a \approx 0,550\cdot 17,2878 \approx 9,5083\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando em três algarismos significativos: \Delta S_a \approx 9,51\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Situação (b):
\Delta S_b = 0,550\cdot 8,314\cdot 1,386294361.
Primeiro 8,314\cdot 1,386294361 \approx 11,5319. Então
\Delta S_b \approx 0,550\cdot 11,5319 \approx 6,3425\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando: \Delta S_b \approx 6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Situação \text{(c)}: mesma razão que (b), portanto mesmo valor:
\Delta S_c \approx 6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Situação (d):
\Delta S_d = 0,550\cdot 8,314\cdot 1,098612289.
Primeiro 8,314\cdot 1,098612289 \approx 9,1361. Então
\Delta S_d \approx 0,550\cdot 9,1361 \approx 5,0249\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Arredondando: \Delta S_d \approx 5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • Situação (e): mesma razão que (d), logo
\Delta S_e \approx 5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Passo 5

Interpretação curta e dica final para a prova.
  • Observação importante: a variação de entropia do gás numa expansão isotérmica reversível depende somente de n, R e da razão V_f/V_i. A temperatura numérica da transformação não altera o valor de \Delta S (desde que a transformação seja isotérmica e reversível).
  • Dica prática: na prova, calcule primeiro a razão V_f/V_i e reconheça potências simples (2, 3, 4, 8) para usar logaritmos conhecidos; assim o cálculo fica rápido sem calculadora (por exemplo \ln 4=2\ln2, \ln8=3\ln2).

Resposta

(a) \Delta S=9,51\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(b) \Delta S=6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(c) \Delta S=6,34\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(d) \Delta S=5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
(e) \Delta S=5,02\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

Exercícios relacionados