1. As esferas A (massa 0,020 kg ), B (massa 0,0300 \mathrm{~kg} ) e C (massa \quad 0,050 \quad k g ) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito (Figura). As velocidades iniciais de A e de B são indicadas na figura. Todas as três esferas atingem a origem no mesmo instante e ficam coladas. a) Quais devem ser os componentes x e y da velocidade inicial de C para que os três objetos unidos se desloquem a 0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido do eixo + ox após a colisão? b) Se C possui a velocidade encontrada no item (a), qual é a variação da energia cinética do sistema das três esferas ocasionada pela colisão?
Resp.: a) \left.\mathrm{V}_{\mathrm{Cx}}=1,75 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{V}_{\mathrm{Cy}}=0,26 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \mathrm{b}\right)-0,092 \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar os componentes x e y da velocidade inicial da esfera C para que, após a colisão em que as três esferas ficam coladas, o conjunto se desloque com 0,50\\ \mathrm{m/s} no sentido do eixo +\,ox.
  • (b) Calcular a variação da energia cinética do sistema das três esferas provocada pela colisão (ou seja, \Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}) quando C tem a velocidade encontrada no item (a).
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
  • Massas:
    • m_A = 0{,}020\\ \mathrm{kg}
    • m_B = 0{,}0300\\ \mathrm{kg}
    • m_C = 0{,}050\\ \mathrm{kg}
  • Velocidades iniciais (módulos e direções indicadas na figura):
    • v_A = 1{,}50\\ \mathrm{m/s}, movendo-se ao longo do eixo x em direção à origem (ou seja, sentido negativo de x).
    • v_B = 0{,}50\\ \mathrm{m/s}, movendo-se em direção à origem numa direção que forma 60^\circ com o eixo negativo x (veja a figura); portanto tem componentes negativas em x e em y.
    • A velocidade de C é desconhecida; queremos seus componentes v_{Cx} e v_{Cy}.
  • Após a colisão as três esferas ficam coladas e se movem com velocidade (vetorial)
    • \vec{V}_{f} = (0{,}50\\ \mathrm{m/s})\,\hat{\imath} (ou seja, velocidade de 0{,}50\\ \mathrm{m/s} puramente no sentido +x).
  • Conservação de quantidade de movimento (impulso linear) vale vetorialmente porque não há forças externas horizontais efetivas na colisão instantânea; energia cinética não se conserva porque a colisão é inelástica (ficam coladas).

Passo 2

Montar as componentes das velocidades conhecidas (explicando trigonometria básica).
  • Para decompor uma velocidade em componentes usa-se seno e cosseno: se um vetor tem módulo v e forma um ângulo \theta com o eixo +x, então v_x = v\cos\theta,\qquad v_y = v\sin\theta.
  • No caso de A: a velocidade está ao longo do eixo x para a esquerda, logo v_{Ax} = -1{,}50\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{Ay}=0.O sinal negativo em v_{Ax} indica sentido para -x.
  • Para B: a figura mostra que a velocidade aponta para a origem formando 60^\circ com o eixo negativo x. Isso corresponde a uma direção cujo ângulo em relação ao eixo +x é \theta_B = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ. Assim v_{Bx}=v_B\cos(240^\circ)=v_B\cos(180^\circ+60^\circ)=v_B\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr),
v_{By}=v_B\sin(240^\circ)=v_B\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
Substituindo v_B=0{,}50\\ \mathrm{m/s}:
v_{Bx}=-0{,}25\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{By}=-0{,}433\\ \mathrm{m/s}.
(Aqui usei \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}; os sinais vêm do quadrante onde o vetor aponta.)

Passo 3

Escrever a conservação da quantidade de movimento vetorialmente e separar em componentes (a aula rápida).
  • Lei (vetorial): a soma dos momentos lineares iniciais é igual ao momento linear final: m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B+m_C\vec{v}_C=(m_A+m_B+m_C)\vec{V}_f.
  • Separando em componentes x e y dá duas equações escalares (estas são duas equações lineares para v_{Cx} e v_{Cy}): \text{(x)}\quad m_A v_{Ax}+m_B v_{Bx}+m_C v_{Cx}=(m_A+m_B+m_C)V_{fx},
\text{(y)}\quad m_A v_{Ay}+m_B v_{By}+m_C v_{Cy}=(m_A+m_B+m_C)V_{fy}.
  • Sabemos V_{fx}=0{,}50\\ \mathrm{m/s} e V_{fy}=0. Substituímos os valores conhecidos para resolver v_{Cx} e v_{Cy}.

Passo 4

Resolver as equações numéricas para v_{Cx} e v_{Cy} (mostrando as contas).
  • Valores numéricos: m_A=0{,}020,\quad m_B=0{,}0300,\quad m_C=0{,}050,\quad M_{\text{total}}=m_A+m_B+m_C=0{,}100\\ \mathrm{kg}.
  • Equação em x: 0{,}020\cdot(-1{,}50)+0{,}0300\cdot(-0{,}25)+0{,}050\cdot v_{Cx}=0{,}100\cdot 0{,}50.Calcular os termos: 0{,}020\cdot(-1{,}50)=-0{,}030,
0{,}0300\cdot(-0{,}25)=-0{,}0075,
0{,}100\cdot 0{,}50=0{,}050.
Portanto
-0{,}030-0{,}0075+0{,}050\cdot v_{Cx}=0{,}050.
Isolando v_{Cx}:
0{,}050\cdot v_{Cx}=0{,}050+0{,}0375=0{,}0875,
v_{Cx}=\dfrac{0{,}0875}{0{,}050}=1{,}75\\ \mathrm{m/s}.
  • Equação em y: 0{,}020\cdot 0 + 0{,}0300\cdot(-0{,}433)+0{,}050\cdot v_{Cy}=0{,}100\cdot 0.Calculando: 0{,}0300\cdot(-0{,}433)=-0{,}01299\\ (\text{aprox.}),
-0{,}01299+0{,}050\cdot v_{Cy}=0.
Assim
0{,}050\cdot v_{Cy}=+0{,}01299,
v_{Cy}=\dfrac{0{,}01299}{0{,}050}\approx 0{,}2598\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}26\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação didática do resultado do item (a).
  • Concluímos que a velocidade inicial de C precisa ter as componentes v_{Cx}=1{,}75\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{Cy}=0{,}26\\ \mathrm{m/s}.Essas componentes garantem que o momento total inicial tenha exatamente a componente x necessária para que a massa total (0{,}100 kg) se mova a 0{,}50\\ \mathrm{m/s} no sentido +x, e que a componente y total inicial seja zero (pois m_B v_{By} é cancelada por m_C v_{Cy}).

Passo 6

Calcular a variação da energia cinética (item b) — fórmula e computação passo a passo.
  • Fórmula da energia cinética de uma partícula: \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^2, onde v é o módulo da velocidade.
  • Calcular a energia cinética inicial de cada esfera (usar v_A=1{,}50, v_B=0{,}50, e para C usar o módulo v_C=\sqrt{v_{Cx}^2+v_{Cy}^2}): v_C=\sqrt{(1{,}75)^2+(0{,}2598)^2}=\sqrt{3{,}0625+0{,}06751}\approx\sqrt{3{,}13001}\approx1{,}769\\ \mathrm{m/s}.
  • Energias iniciais: K_A=\tfrac{1}{2}m_A v_A^2=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}020\cdot(1{,}50)^2=0{,}01\cdot2{,}25=0{,}0225\\ \mathrm{J}.
K_B=\tfrac{1}{2}m_B v_B^2=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}0300\cdot(0{,}50)^2=0{,}015\cdot0{,}25=0{,}00375\\ \mathrm{J}.
K_C=\tfrac{1}{2}m_C v_C^2=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}050\cdot(1{,}769)^2=0{,}025\cdot3{,}13001\approx0{,}07825\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética total inicial: K_{\text{inicial}}=K_A+K_B+K_C\approx0{,}0225+0{,}00375+0{,}07825=0{,}1045\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final do conjunto (massa total 0{,}100\\ \mathrm{kg} movendo-se a 0{,}50\\ \mathrm{m/s}): K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}M_{\text{total}}V_f^2=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}100\cdot(0{,}50)^2=0{,}05\cdot0{,}25=0{,}0125\\ \mathrm{J}.
  • Variação: \Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=0{,}0125-0{,}1045\approx-0{,}0920\\ \mathrm{J}.O sinal negativo indica perda de energia cinética (energia transformada em calor, som, deformação, etc.) por causa da colisão perfeitamente inelástica (as esferas ficam coladas).

Resposta

a) v_{Cx}=1{,}75\\ \mathrm{m/s},\quad v_{Cy}=0{,}26\\ \mathrm{m/s}
b) \Delta K\approx -0{,}092\\ \mathrm{J}

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