- As esferas A (massa 0,020 kg ), B (massa
) e C (massa
) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito (Figura). As velocidades iniciais de A e de B são indicadas na figura. Todas as três esferas atingem a origem no mesmo instante e ficam coladas. a) Quais devem ser os componentes x e y da velocidade inicial de C para que os três objetos unidos se desloquem a
no sentido do eixo + ox após a colisão? b) Se C possui a velocidade encontrada no item (a), qual é a variação da energia cinética do sistema das três esferas ocasionada pela colisão?
Resp.: a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar os componentes
e da velocidade inicial da esfera para que, após a colisão em que as três esferas ficam coladas, o conjunto se desloque com no sentido do eixo . - (b) Calcular a variação da energia cinética do sistema das três esferas provocada pela colisão (ou seja,
) quando tem a velocidade encontrada no item (a).
Informações dadas (retiradas do enunciado e da figura):
- Massas:
-
- Velocidades iniciais (módulos e direções indicadas na figura):
-
, movendo-se ao longo do eixo em direção à origem (ou seja, sentido negativo de ). -
, movendo-se em direção à origem numa direção que forma com o eixo negativo (veja a figura); portanto tem componentes negativas em e em . - A velocidade de
é desconhecida; queremos seus componentes e .
-
- Após a colisão as três esferas ficam coladas e se movem com velocidade (vetorial)
-
(ou seja, velocidade de puramente no sentido ).
-
- Conservação de quantidade de movimento (impulso linear) vale vetorialmente porque não há forças externas horizontais efetivas na colisão instantânea; energia cinética não se conserva porque a colisão é inelástica (ficam coladas).
Passo 2
Montar as componentes das velocidades conhecidas (explicando trigonometria básica).
- Para decompor uma velocidade em componentes usa-se seno e cosseno: se um vetor tem módulo
e forma um ângulo com o eixo , então - No caso de
: a velocidade está ao longo do eixo para a esquerda, logo O sinal negativo em indica sentido para . - Para
: a figura mostra que a velocidade aponta para a origem formando com o eixo negativo . Isso corresponde a uma direção cujo ângulo em relação ao eixo é . Assim
Substituindo
:
(Aqui usei
e
; os sinais vêm do quadrante onde o vetor aponta.)
Passo 3
Escrever a conservação da quantidade de movimento vetorialmente e separar em componentes (a aula rápida).
- Lei (vetorial): a soma dos momentos lineares iniciais é igual ao momento linear final:
- Separando em componentes
e dá duas equações escalares (estas são duas equações lineares para e ):
- Sabemos
e . Substituímos os valores conhecidos para resolver e .
Passo 4
Resolver as equações numéricas para
e
(mostrando as contas).
- Valores numéricos:
- Equação em
: Calcular os termos:
Portanto
Isolando
:
- Equação em
: Calculando:
Assim
Passo 5
Interpretação didática do resultado do item (a).
- Concluímos que a velocidade inicial de
precisa ter as componentes Essas componentes garantem que o momento total inicial tenha exatamente a componente necessária para que a massa total (0{,}100 kg) se mova a no sentido , e que a componente total inicial seja zero (pois é cancelada por ).
Passo 6
Calcular a variação da energia cinética (item b) — fórmula e computação passo a passo.
- Fórmula da energia cinética de uma partícula:
, onde é o módulo da velocidade. - Calcular a energia cinética inicial de cada esfera (usar
, , e para usar o módulo ): - Energias iniciais:
- Energia cinética total inicial:
- Energia cinética final do conjunto (massa total
movendo-se a ): - Variação:
O sinal negativo indica perda de energia cinética (energia transformada em calor, som, deformação, etc.) por causa da colisão perfeitamente inelástica (as esferas ficam coladas).
Resposta
a)
b)
b)