- Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de
. O deslocamento da corda em
varia com o tempo de acordo com a equação
. A massa específica linear da corda é
.
(c) Determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- A velocidade de propagação da onda é
. - A massa linear da corda é
(informação não necessária para este item (c) mas anotada). - Em
o deslocamento varia com o tempo segundo a equação
- O item (c) pede para determinar
, e .
Observação importante: a equação dada é o deslocamento no ponto fixo
. Isso significa que a forma geral da onda é do tipo
e, na posição
, a fase virou o número
. Vamos usar essa conexão para identificar
,
e
.
Passo 2
Lembrando a forma padrão de uma onda senoidal progressiva unidimensional:
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm), -
é o número de onda (em ou ), que está relacionado com o comprimento de onda por , -
é a frequência angular (em ), relacionada com a frequência temporal por , -
é a fase inicial (em radianos).
Outra relação importante entre essas quantidades e a velocidade de propagação
é
Vou usar essa relação porque temos
e
(este último aparece no termo temporal da função dada em
) para encontrar
.
Passo 3
Identificar a amplitude
.
A expressão dada em
é
Compare isso com a forma
. O coeficiente multiplicando o seno é a amplitude. Logo
Explicação intuitiva: amplitude é o “tamanho” máximo das oscilações; aqui o fator na frente do seno vale
, então a corda oscila entre
e
.
Passo 4
Identificar a frequência angular
.
Na expressão
o termo que multiplica
dentro do seno é
. Esse coeficiente (valor absoluto) é a frequência angular
. Portanto
Comentário didático:
mede quão rápido a fase varia no tempo; se
é grande, a oscilação é mais rápida. A frequência temporal
(voltas por segundo) seria
, mas o enunciado só pediu
.
Passo 5
Determinar o número de onda
usando
.
Reorganizando,
Substituindo os valores conhecidos — note que
está em
e
em
, então a unidade de
será
:
Podemos também expressar
em unidades por metro:
(multiplica por
para converter cm^{-1} em m^{-1}).
Explicação prática:
diz quantos radianos de fase a onda acumula por unidade de distância. Com
, ao percorrer
a fase muda
rad.
Passo 6
(Superútil para prova — resultados derivados)
- A frequência
é
- O comprimento de onda
é
Esses valores confirmam a consistência:
.