1. Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. O deslocamento da corda em x=10 c m varia com o tempo de acordo com a equação y=5,0 \operatorname{sen}(1,0-4,0 . t). A massa específica linear da corda é 4.0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}.
(c) Determine y_{m}, k \in \omega

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • A velocidade de propagação da onda é 40\\ \mathrm{cm/s}.
  • A massa linear da corda é 4,0\\ \mathrm{g/cm} (informação não necessária para este item (c) mas anotada).
  • Em x=10\\ \mathrm{cm} o deslocamento varia com o tempo segundo a equação
y(t)=5,0\\ \operatorname{sen}\bigl(1,0-4,0\cdot t\bigr).
  • O item (c) pede para determinar y_m, k e \omega.
Observação importante: a equação dada é o deslocamento no ponto fixo x=10\\ \mathrm{cm}. Isso significa que a forma geral da onda é do tipo y(x,t)=y_m\\ \operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi) e, na posição x=10\\ \mathrm{cm}, a fase virou o número (1,0-4,0\,t). Vamos usar essa conexão para identificar y_m, \omega e k.

Passo 2

Lembrando a forma padrão de uma onda senoidal progressiva unidimensional:
y(x,t)=y_m\\ \operatorname{sen}\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • y_m é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm),
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/cm} ou \mathrm{rad/m}), que está relacionado com o comprimento de onda \lambda por \displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda},
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), relacionada com a frequência temporal f por \displaystyle \omega=2\pi f,
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
Outra relação importante entre essas quantidades e a velocidade de propagação v é
v=\frac{\omega}{k}.
Vou usar essa relação porque temos v e \omega (este último aparece no termo temporal da função dada em x=10) para encontrar k.

Passo 3

Identificar a amplitude y_m.
A expressão dada em x=10\\ \mathrm{cm} é
y(t)=5,0\\ \operatorname{sen}\bigl(1,0-4,0\cdot t\bigr).
Compare isso com a forma y(x,t)=y_m\\ \operatorname{sen}(\ldots). O coeficiente multiplicando o seno é a amplitude. Logo
y_m=5,0\\ \text{(unidades: cm)}.
Explicação intuitiva: amplitude é o “tamanho” máximo das oscilações; aqui o fator na frente do seno vale 5,0, então a corda oscila entre -5,0\\ \mathrm{cm} e +5,0\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Identificar a frequência angular \omega.
Na expressão y(t)=5,0\\ \operatorname{sen}(1,0-4,0\,t) o termo que multiplica t dentro do seno é -4,0. Esse coeficiente (valor absoluto) é a frequência angular \omega. Portanto
\omega=4,0\\ \mathrm{rad/s}.
Comentário didático: \omega mede quão rápido a fase varia no tempo; se \omega é grande, a oscilação é mais rápida. A frequência temporal f (voltas por segundo) seria f=\dfrac{\omega}{2\pi}, mas o enunciado só pediu \omega.

Passo 5

Determinar o número de onda k usando v=\dfrac{\omega}{k}.
Reorganizando,
k=\frac{\omega}{v}.
Substituindo os valores conhecidos — note que v está em \mathrm{cm/s} e \omega em \mathrm{rad/s}, então a unidade de k será \mathrm{rad/cm}:
k=\frac{4,0\\ \mathrm{rad/s}}{40\\ \mathrm{cm/s}}=\;0,1\\ \mathrm{rad/cm}.
Podemos também expressar k em unidades por metro: 0,1\\ \mathrm{rad/cm}=10\\ \mathrm{rad/m} (multiplica por 100 para converter cm^{-1} em m^{-1}).
Explicação prática: k diz quantos radianos de fase a onda acumula por unidade de distância. Com k=0,1\\ \mathrm{rad/cm}, ao percorrer 1\\ \mathrm{cm} a fase muda 0,1 rad.

Passo 6

(Superútil para prova — resultados derivados)
  • A frequência f é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4,0}{2\pi}\approx0,6366\\ \mathrm{Hz}.
  • O comprimento de onda \lambda é
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,1}\approx62,83\\ \mathrm{cm}.
Esses valores confirmam a consistência: v=f\lambda\approx0,6366\times62,83\approx40\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

y_m=5,0\\ \mathrm{cm}
k=0,10\\ \mathrm{rad/cm}
\omega=4,0\\ \mathrm{rad/s}

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