Suponha que em algum instante inicial todas as moléculas num recipiente tenham a mesma energia de translação,
. À medida que o tempo passa, o movimento torna-se caótico e as energias finalmente estão distribuídas segundo a distribuição de Maxwell. Calcule a temperatura final do sistema.
Passo 1
O enunciado dá que, num instante inicial, todas as moléculas têm a mesma energia de translação igual a
. À medida que o sistema evolui, as velocidades/energias passam a seguir a distribuição de Maxwell. A pergunta é: qual é a temperatura final do sistema quando a distribuição de Maxwell estiver estabelecida?
Informações relevantes:
- Energia translacional por molécula no início:
. - Assume-se que a energia total (e, portanto, a energia média por molécula) não muda durante a redistribuição (sistema isolado para o propósito deste problema).
- Queremos encontrar a temperatura final
.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (explicado devagarinho):
- A distribuição de Maxwell descreve como as velocidades (e, portanto, as energias cinéticas translacionais) das moléculas se distribuem em equilíbrio térmico. Mesmo que a distribuição mude de uma distribuição “degenerada” (todas com a mesma energia) para a distribuição de Maxwell, a energia média por molécula permanece a mesma se não houve troca de energia com o exterior.
- A teoria cinética e o teorema da equipartição dizem que, para o movimento translacional em três dimensões, a energia média translacional por molécula é
onde:
-
é a energia média translacional por molécula (J), -
é a constante de Boltzmann (em ), -
é a temperatura absoluta em kelvin (K). - Nota pedagógica: cada grau de liberdade quadrático contribui com
para a energia média; a tradução em 3D tem três graus de liberdade, portanto .
Passo 3
Aplicando conservação da energia média por molécula entre estado inicial e final:
- A energia média final (em equilíbrio de Maxwell) é igual à energia inicial por molécula:
- Igualando à expressão da equipartição:
- Isolando
:
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular:
- Constante de Boltzmann:
. - Então
- Calcular passo a passo:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Dividindo:
- Numerador:
Passo 5
Interpretação e dica para prova:
- O resultado diz que a temperatura final está na ordem de
, ou seja, bem abaixo de temperatura ambiente. - Em provas é comum usar exatamente este raciocínio: conservar a energia média e usar
. Anote sempre qual energia está sendo considerada (aqui é energia translacional) e justifique conservação da média se o enunciado não menciona trocas de calor com o exterior. - Força aí — esse tipo de questão é direto quando se lembra da equipartição e da conservação da energia média!