Suponha que em algum instante inicial todas as moléculas num recipiente tenham a mesma energia de translação, 2,0 \times 10^{-21} \mathrm{~J}. À medida que o tempo passa, o movimento torna-se caótico e as energias finalmente estão distribuídas segundo a distribuição de Maxwell. Calcule a temperatura final do sistema.

Passo 1

O enunciado dá que, num instante inicial, todas as moléculas têm a mesma energia de translação igual a 2,0\times10^{-21}\\ \mathrm{J}. À medida que o sistema evolui, as velocidades/energias passam a seguir a distribuição de Maxwell. A pergunta é: qual é a temperatura final do sistema quando a distribuição de Maxwell estiver estabelecida?
Informações relevantes:
  • Energia translacional por molécula no início: \epsilon_{\text{inicial}} = 2,0\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Assume-se que a energia total (e, portanto, a energia média por molécula) não muda durante a redistribuição (sistema isolado para o propósito deste problema).
  • Queremos encontrar a temperatura final T.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagarinho):
  • A distribuição de Maxwell descreve como as velocidades (e, portanto, as energias cinéticas translacionais) das moléculas se distribuem em equilíbrio térmico. Mesmo que a distribuição mude de uma distribuição “degenerada” (todas com a mesma energia) para a distribuição de Maxwell, a energia média por molécula permanece a mesma se não houve troca de energia com o exterior.
  • A teoria cinética e o teorema da equipartição dizem que, para o movimento translacional em três dimensões, a energia média translacional por molécula é
\langle \epsilon_{\text{trans}} \rangle = \tfrac{3}{2} k_B T,
onde:
  • \langle \epsilon_{\text{trans}} \rangle é a energia média translacional por molécula (J),
  • k_B é a constante de Boltzmann (em \mathrm{J/K}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K).
  • Nota pedagógica: cada grau de liberdade quadrático contribui com \tfrac{1}{2}k_B T para a energia média; a tradução em 3D tem três graus de liberdade, portanto \tfrac{3}{2}k_B T.

Passo 3

Aplicando conservação da energia média por molécula entre estado inicial e final:
  • A energia média final (em equilíbrio de Maxwell) é igual à energia inicial por molécula:
\langle \epsilon_{\text{trans}} \rangle = \epsilon_{\text{inicial}} = 2,0\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Igualando à expressão da equipartição:
\epsilon_{\text{inicial}} = \tfrac{3}{2} k_B T.
  • Isolando T:
T = \dfrac{2\,\epsilon_{\text{inicial}}}{3\,k_B}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular:
  • Constante de Boltzmann: k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Então
T = \dfrac{2\times(2,0\times10^{-21})}{3\times(1,380649\times10^{-23})}.
  • Calcular passo a passo:
    • Numerador: 2\times(2,0\times10^{-21}) = 4,0\times10^{-21}.
    • Denominador: 3\times1,380649\times10^{-23} = 4,141947\times10^{-23}.
    • Dividindo:
T = \dfrac{4,0\times10^{-21}}{4,141947\times10^{-23}} \approx 96,6\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretação e dica para prova:
  • O resultado diz que a temperatura final está na ordem de 10^{2}\\ \mathrm{K}, ou seja, bem abaixo de temperatura ambiente.
  • Em provas é comum usar exatamente este raciocínio: conservar a energia média e usar \langle \epsilon\rangle=\tfrac{3}{2}k_B T. Anote sempre qual energia está sendo considerada (aqui é energia translacional) e justifique conservação da média se o enunciado não menciona trocas de calor com o exterior.
  • Força aí — esse tipo de questão é direto quando se lembra da equipartição e da conservação da energia média!

Resposta

T \approx 96,6\\ \mathrm{K}

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