Suponha que, após uma entrevista de emprego com o RH de uma empresa, pessoas sejam contratadas (C), com probabilidade 0,65, e não contratada (N) com probabilidade 0,35. Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema. O espaço amostral é dado por:
. Pede-se:
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: número de pessoas contratadas.
(b) Obtenha o número médio e variância de pessoas contratadas na empresa.
(c) Qual a probabilidade de, selecionada ao acaso uma amostra de três pessoas, ela tenha no máximo duas pessoas contratadas?
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: número de pessoas contratadas.
(b) Obtenha o número médio e variância de pessoas contratadas na empresa.
(c) Qual a probabilidade de, selecionada ao acaso uma amostra de três pessoas, ela tenha no máximo duas pessoas contratadas?
Passo 1
O enunciado diz que cada pessoa é contratada (C) com probabilidade
e não contratada (N) com probabilidade
. Três pessoas são escolhidas independentemente e classificadas, o espaço amostral foi dado. As perguntas são:
(a) Obter a distribuição de probabilidade da variável aleatória : número de pessoas contratadas entre as três.
(b) Calcular o número médio (esperança) e a variância de .
(c) Calcular a probabilidade de que, numa amostra de três pessoas, haja no máximo duas pessoas contratadas (ou seja, ).
(a) Obter a distribuição de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcular o número médio (esperança) e a variância de
(c) Calcular a probabilidade de que, numa amostra de três pessoas, haja no máximo duas pessoas contratadas (ou seja,
Passo 2
Modelagem: como temos um número fixo de ensaios independentes (
), cada ensaio tem duas saídas (contratado = “sucesso” com probabilidade
, ou não contratado com probabilidade
) e queremos o número de sucessos, a distribuição apropriada é a distribuição binomial. A fórmula geral da binomial é
onde:
-
é o número de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos (contratações) que queremos a probabilidade; -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ); -
é o coeficiente binomial, que conta quantas sequências diferentes de comprimento têm exatamente sucessos.
Passo 3
Calcular
(nenhuma pessoa contratada):
Passo 4
Calcular
(exatamente uma pessoa contratada):
Como
, temos
Passo 5
Calcular
(exatamente duas pessoas contratadas):
Como
, temos
Passo 6
Calcular
(todas as três contratadas):
Passo 7
Verificação rápida (soma das probabilidades deve dar 1):
Tudo checa corretamente.
Passo 8
Cálculo do número médio (esperança)
. Para uma binomial vale a fórmula simples
onde
e
. Logo
Interpretação: em média, de cada grupo de três entrevistados espera-se contratar
pessoas.
Passo 9
Cálculo da variância
. Para a binomial vale
Substituindo
,
e
,
Passo 10
Parte (c) — probabilidade de no máximo duas contratadas,
. É mais simples usar
. Já calculamos
, então
Como check, soma
, mesma coisa.
Resposta
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)
(c)