Suponha que, após uma entrevista de emprego com o RH de uma empresa, pessoas sejam contratadas (C), com probabilidade 0,65, e não contratada (N) com probabilidade 0,35. Admita que três pessoas sejam escolhidas ao acaso e classificadas de acordo com esse esquema. O espaço amostral é dado por: \Omega=\{\mathrm{CCC}, \mathrm{CCN}, \mathrm{CNC}, \mathrm{NCC}, \mathrm{NNC}, \mathrm{NCN}, \mathrm{CNN}, \mathrm{NNN}\}. Pede-se:
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: número de pessoas contratadas.
(b) Obtenha o número médio e variância de pessoas contratadas na empresa.
(c) Qual a probabilidade de, selecionada ao acaso uma amostra de três pessoas, ela tenha no máximo duas pessoas contratadas?

Passo 1

O enunciado diz que cada pessoa é contratada (C) com probabilidade 0,65 e não contratada (N) com probabilidade 0,35. Três pessoas são escolhidas independentemente e classificadas, o espaço amostral foi dado. As perguntas são:
(a) Obter a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: número de pessoas contratadas entre as três.
(b) Calcular o número médio (esperança) e a variância de X.
(c) Calcular a probabilidade de que, numa amostra de três pessoas, haja no máximo duas pessoas contratadas (ou seja, P(X\le 2)).

Passo 2

Modelagem: como temos um número fixo de ensaios independentes ( n=3), cada ensaio tem duas saídas (contratado = “sucesso” com probabilidade p=0,65, ou não contratado com probabilidade 1-p=0,35) e queremos o número de sucessos, a distribuição apropriada é a distribuição binomial. A fórmula geral da binomial é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número de ensaios (aqui n=3);
  • k é o número de sucessos (contratações) que queremos a probabilidade;
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,65);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta quantas sequências diferentes de comprimento n têm exatamente k sucessos.

Passo 3

Calcular P(X=0) (nenhuma pessoa contratada):
P(X=0)=\binom{3}{0}(0,65)^{0}(0,35)^{3}=(0,35)^{3}=0,35\cdot0,35\cdot0,35=0,042875.

Passo 4

Calcular P(X=1) (exatamente uma pessoa contratada):
P(X=1)=\binom{3}{1}(0,65)^{1}(0,35)^{2}=3\cdot0,65\cdot(0,35)^{2}.
Como (0,35)^{2}=0,1225, temos
P(X=1)=3\cdot0,65\cdot0,1225=3\cdot0,079625=0,238875.

Passo 5

Calcular P(X=2) (exatamente duas pessoas contratadas):
P(X=2)=\binom{3}{2}(0,65)^{2}(0,35)^{1}=3\cdot(0,65)^{2}\cdot0,35.
Como (0,65)^{2}=0,4225, temos
P(X=2)=3\cdot0,4225\cdot0,35=3\cdot0,147875=0,443625.

Passo 6

Calcular P(X=3) (todas as três contratadas):
P(X=3)=\binom{3}{3}(0,65)^{3}(0,35)^{0}=(0,65)^{3}=0,65\cdot0,65\cdot0,65=0,274625.

Passo 7

Verificação rápida (soma das probabilidades deve dar 1):
0,042875+0,238875+0,443625+0,274625=1,000000.
Tudo checa corretamente.

Passo 8

Cálculo do número médio (esperança) E[X]. Para uma binomial vale a fórmula simples
E[X]=n p,
onde n=3 e p=0,65. Logo
E[X]=3\cdot0,65=1,95.
Interpretação: em média, de cada grupo de três entrevistados espera-se contratar 1,95 pessoas.

Passo 9

Cálculo da variância \mathrm{Var}(X). Para a binomial vale
\mathrm{Var}(X)=n p (1-p).
Substituindo n=3, p=0,65 e 1-p=0,35,
\mathrm{Var}(X)=3\cdot0,65\cdot0,35=3\cdot0,2275=0,6825.

Passo 10

Parte (c) — probabilidade de no máximo duas contratadas, P(X\le 2). É mais simples usar P(X\le 2)=1-P(X=3). Já calculamos P(X=3)=0,274625, então
P(X\le 2)=1-0,274625=0,725375.
Como check, soma P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,042875+0,238875+0,443625=0,725375, mesma coisa.

Resposta

(a) P(X=0)=0,042875
(a) P(X=1)=0,238875
(a) P(X=2)=0,443625
(a) P(X=3)=0,274625
(b) E[X]=1,95
(b) \mathrm{Var}(X)=0,6825
(c) P(X\le 2)=0,725375

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