A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1 . Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? Qual número médio e variância de peças defeituosas na amostra de 20 peças.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • O enunciado fornece a probabilidade de uma peça ser defeituosa: p=0,1.
  • O enunciado considera uma amostra de n=20 peças produzidas pela máquina num dia.
  • Perguntas:
    1. Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 peças defeituosas em 20 peças?
    2. Qual o número médio (esperança) de peças defeituosas na amostra de 20 peças?
    3. Qual a variância do número de peças defeituosas na amostra de 20 peças?

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando temos n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de “sucesso” (aqui “sucesso” = peça defeituosa), e queremos a probabilidade de exatamente k sucessos, usamos a fórmula
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • X é a variável aleatória que conta quantas peças defeituosas ocorreram em n peças.
  • n é o número de ensaios (aqui n=20).
  • k é o número de sucessos desejados (aqui k=3).
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui p=0,1).
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras distintas podemos escolher quais k ensaios entre os n serão os sucessos. A fórmula para \binom{n}{k} é
\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.
Observação prática: essa distribuição é chamada de distribuição binomial.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{20}{3}.
Usando a fórmula:
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas passo a passo:
  • 20\cdot19=380.
  • 380\cdot18=6840.
  • 3\cdot2\cdot1=6.
  • \dfrac{6840}{6}=1140.
    Portanto
\binom{20}{3}=1140.

Passo 4

Calcular as potências p^{k} e (1-p)^{\,n-k}.
  • p^{k}=0{,}1^{3}=0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1=0{,}001.
  • (1-p)=0{,}9. Precisamos de (0{,}9)^{17}. Uma forma prática é usar potências conhecidas:
    • 0{,}9^{2}=0{,}81
    • 0{,}9^{5}=0{,}59049
    • 0{,}9^{7}=0{,}4782969
    • 0{,}9^{10}=0{,}3486784401
    • Multiplicando 0{,}9^{10} por 0{,}9^{7} obtemos 0{,}9^{17}:
0{,}9^{17}=0{,}3486784401\cdot0{,}4782969\approx0{,}1667718169966657.
Arredondando com cuidado, tomamos (0{,}9)^{17}\approx0{,}166771817.

Passo 5

Montar a probabilidade P(X=3) e calcular numericamente.
Usando a fórmula:
P(X=3)=\binom{20}{3}\,0{,}1^{3}\,0{,}9^{17}.
Substituindo os valores que já calculamos:
P(X=3)=1140\cdot0{,}001\cdot0{,}166771817.
Primeiro simplificar 1140\cdot0{,}001=1{,}14. Então
P(X=3)=1{,}14\cdot0{,}166771817.
Multiplicando:
1{,}14\cdot0{,}166771817 \approx 0{,}19011987138.
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais (comum em probabilidade):
P(X=3)\approx0{,}1901.

Passo 6

Calcular o número médio (esperança) e a variância (aula curta sobre fórmulas).
Para uma variável binomial X\sim\mathrm{Bin}(n,p) valem fórmulas simples:
  • Esperança (valor médio):
\mathbb{E}[X]=n p.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X)=n p (1-p).
Aqui n=20 e p=0{,}1. Então:
  • Esperança:
\mathbb{E}[X]=20\cdot0{,}1=2.
Interpretação: em média espera-se 2 peças defeituosas por dia entre 20 peças.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X)=20\cdot0{,}1\cdot0{,}9=20\cdot0{,}09=1{,}8.
A variância mede a dispersão; o desvio padrão seria \sqrt{1{,}8}\approx1{,}3416 se quiser comparar em unidades originais.

Resposta

P(\text{exatamente }3)=0{,}1901
\mathbb{E}[X]=2
\mathrm{Var}(X)=1{,}8

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