A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 0,1 . Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela máquina num dia, ocorram 3 defeituosas? Qual número médio e variância de peças defeituosas na amostra de 20 peças.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- O enunciado fornece a probabilidade de uma peça ser defeituosa:
. - O enunciado considera uma amostra de
peças produzidas pela máquina num dia. - Perguntas:
- Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 peças defeituosas em
peças? - Qual o número médio (esperança) de peças defeituosas na amostra de
peças? - Qual a variância do número de peças defeituosas na amostra de
peças?
- Qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 peças defeituosas em
Passo 2
Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
Quando temos tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de “sucesso” (aqui “sucesso” = peça defeituosa), e queremos a probabilidade de exatamente
sucessos, usamos a fórmula
Quando temos
Explicando cada símbolo:
-
é a variável aleatória que conta quantas peças defeituosas ocorreram em peças. -
é o número de ensaios (aqui ). -
é o número de sucessos desejados (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui ). -
é o coeficiente binomial, que conta de quantas maneiras distintas podemos escolher quais ensaios entre os serão os sucessos. A fórmula para é
Observação prática: essa distribuição é chamada de distribuição binomial.
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial
.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
-
. -
. -
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular as potências
e
.
-
-
. Precisamos de . Uma forma prática é usar potências conhecidas: -
-
-
-
- Multiplicando
por obtemos :
-
Arredondando com cuidado, tomamos
.
Passo 5
Montar a probabilidade
e calcular numericamente.
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Primeiro simplificar
. Então
Multiplicando:
Arredondando de forma prática para quatro casas decimais (comum em probabilidade):
Passo 6
Calcular o número médio (esperança) e a variância (aula curta sobre fórmulas).
Para uma variável binomial valem fórmulas simples:
Para uma variável binomial
- Esperança (valor médio):
- Variância:
Aqui
e
. Então:
- Esperança:
Interpretação: em média espera-se 2 peças defeituosas por dia entre 20 peças.
- Variância:
A variância mede a dispersão; o desvio padrão seria
se quiser comparar em unidades originais.