Suponha que uma grande empresa demita 25 \% de seus funcionários após cinco anos de contrato. Admita que três funcionários sejam escolhidos ao acaso e classificados de acordo com o espaço amostral: \Omega=\{ DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN}, sendo D de demitido e N de não demitido. Pede-se:
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X : número de funcionários demitidos entre os três.
(b) Obtenha o número médio e variância de funcionários demitidos.
(c) Qual a probabilidade de, selecionado ao acaso os três funcionários, tenha no máximo um demitido?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei estes dados do enunciado):
  • A cada funcionário corresponde uma chance de ser demitido igual a 25\%. Ou seja, a probabilidade de demissão é p=0,25.
  • Para “não demitido” temos q=1-p=0,75.
  • Foram escolhidos aleatoriamente três funcionários e o espaço amostral fornecido é \Omega=\{\text{DDD},\text{DDN},\text{DND},\text{NDD},\text{NND},\text{NDN},\text{DNN},\text{NNN}\}.
  • Define-se a variável aleatória X = número de funcionários demitidos entre os três; assim X\in\{0,1,2,3\}.
O enunciado pede:
(a) Obter a distribuição de probabilidade de X.
(b) Obter o número médio (esperança) e a variância de X.
(c) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar os três funcionários, haja no máximo um demitido (ou seja, P(X\le 1)).

Passo 2

Por que usar este modelo e qual fórmula vamos aplicar (explicação didática):
  • Cada funcionário observado é um ensaio com dois resultados possíveis: “demitido” (sucesso, probabilidade p) ou “não demitido” (fracasso, probabilidade q).
  • Os três funcionários são escolhidos de forma independente, logo temos três ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade p.
  • O número total de “sucessos” em n ensaios Bernoulli independentes com probabilidade p segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Aqui n=3 e p=0,25.
  • A fórmula geral da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,q^{\,n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} conta quantas sequências distintas de k sucessos e n-k fracassos existem.
Vou aplicar essa fórmula com n=3, p=0,25 e q=0,75. Também explico o que é cada símbolo:
  • n é o número total de ensaios (aqui 3).
  • k é o número de demitidos que queremos a probabilidade (pode ser 0,1,2,3).
  • p é a probabilidade de demissão em um funcionário.
  • q=1-p é a probabilidade de não demissão.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes combinatórios básicos para n=3:
\binom{3}{0}=1,\qquad \binom{3}{1}=3,\qquad \binom{3}{2}=3,\qquad \binom{3}{3}=1.
(Isto vem de \binom{3}{k}=\dfrac{3!}{k!(3-k)!}.)

Passo 4

Aplicando a fórmula da binomial para cada k:
Para k=0:
P(X=0)=\binom{3}{0}\,p^{0}\,q^{3}=(1)\cdot(0,25)^{0}\cdot(0,75)^{3}=(0,75)^{3}.
Cálculo numérico:
(0,75)^{2}=0,5625,\qquad (0,75)^{3}=0,421875.
Logo
P(X=0)=0,421875.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{3}{1}\,p^{1}\,q^{2}=3\cdot(0,25)\cdot(0,75)^{2}.
Cálculo numérico:
(0,75)^{2}=0,5625,\qquad 3\cdot0,25\cdot0,5625=3\cdot0,140625=0,421875.
Logo
P(X=1)=0,421875.
Para k=2:
P(X=2)=\binom{3}{2}\,p^{2}\,q^{1}=3\cdot(0,25)^{2}\cdot(0,75).
Cálculo numérico:
(0,25)^{2}=0,0625,\qquad 3\cdot0,0625\cdot0,75=3\cdot0,046875=0,140625.
Logo
P(X=2)=0,140625.
Para k=3:
P(X=3)=\binom{3}{3}\,p^{3}\,q^{0}=(0,25)^{3}.
Cálculo numérico:
(0,25)^{2}=0,0625,\qquad (0,25)^{3}=0,015625.
Logo
P(X=3)=0,015625.
Verificação rápida (soma das probabilidades):
0,421875+0,421875+0,140625+0,015625=1.
Ótimo — a distribuição soma 1, como deve ser.

Passo 5

Cálculo da esperança (número médio) e da variância — fórmulas e raciocínio:
  • Para uma variável binomial X\sim\mathrm{Binomial}(n,p) vale a fórmula conhecida (estas são fórmulas padrão; abaixo explico o porquê em palavras):
\mathbb{E}[X]=n\,p, \qquad \mathrm{Var}(X)=n\,p\,q.
Intuição rápida: a esperança é soma das esperanças de n Bernoullis (cada uma tem esperança p), e a variância soma n variâncias p q porque os ensaios são independentes.
Aplicando com n=3, p=0,25, q=0,75:
\mathbb{E}[X]=3\cdot0,25=0,75.
\mathrm{Var}(X)=3\cdot0,25\cdot0,75=3\cdot0,1875=0,5625.

Passo 6

Cálculo da probabilidade pedida em (c): “no máximo um demitido” significa X\le 1. Usamos soma das probabilidades de k=0 e k=1:
P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,421875+0,421875=0,84375.
Também poderia ser obtido como 1-P(X\ge 2)=1-(P(X=2)+P(X=3)), o que dá o mesmo resultado.

Resposta

(a) P(X=0)=0,421875,\; P(X=1)=0,421875,\; P(X=2)=0,140625,\; P(X=3)=0,015625
(b) \mathbb{E}[X]=0,75,\; \mathrm{Var}(X)=0,5625
(c) P(X\le 1)=0,84375

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