Suponha que uma grande empresa demita
de seus funcionários após cinco anos de contrato. Admita que três funcionários sejam escolhidos ao acaso e classificados de acordo com o espaço amostral:
DDD, DDN, DND, NDD, NND, NDN, DNN, NNN}, sendo D de demitido e N de não demitido. Pede-se:
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X : número de funcionários demitidos entre os três.
(b) Obtenha o número médio e variância de funcionários demitidos.
(c) Qual a probabilidade de, selecionado ao acaso os três funcionários, tenha no máximo um demitido?
(a) Obtenha a distribuição de probabilidade da variável aleatória X : número de funcionários demitidos entre os três.
(b) Obtenha o número médio e variância de funcionários demitidos.
(c) Qual a probabilidade de, selecionado ao acaso os três funcionários, tenha no máximo um demitido?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei estes dados do enunciado):
- A cada funcionário corresponde uma chance de ser demitido igual a
. Ou seja, a probabilidade de demissão é . - Para “não demitido” temos
. - Foram escolhidos aleatoriamente três funcionários e o espaço amostral fornecido é
. - Define-se a variável aleatória
= número de funcionários demitidos entre os três; assim .
O enunciado pede:
(a) Obter a distribuição de probabilidade de .
(b) Obter o número médio (esperança) e a variância de .
(c) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar os três funcionários, haja no máximo um demitido (ou seja, ).
(a) Obter a distribuição de probabilidade de
(b) Obter o número médio (esperança) e a variância de
(c) Calcular a probabilidade de que, ao selecionar os três funcionários, haja no máximo um demitido (ou seja,
Passo 2
Por que usar este modelo e qual fórmula vamos aplicar (explicação didática):
- Cada funcionário observado é um ensaio com dois resultados possíveis: “demitido” (sucesso, probabilidade
) ou “não demitido” (fracasso, probabilidade ). - Os três funcionários são escolhidos de forma independente, logo temos três ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade
. - O número total de “sucessos” em
ensaios Bernoulli independentes com probabilidade segue a distribuição binomial com parâmetros e . Aqui e . - A fórmula geral da probabilidade binomial é:
onde
conta quantas sequências distintas de
sucessos e
fracassos existem.
Vou aplicar essa fórmula com
,
e
. Também explico o que é cada símbolo:
-
é o número total de ensaios (aqui ). -
é o número de demitidos que queremos a probabilidade (pode ser ). -
é a probabilidade de demissão em um funcionário. -
é a probabilidade de não demissão.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes combinatórios básicos para
:
(Isto vem de
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula da binomial para cada
:
Para
:
Cálculo numérico:
Logo
Para
:
Cálculo numérico:
Logo
Para
:
Cálculo numérico:
Logo
Para
:
Cálculo numérico:
Logo
Verificação rápida (soma das probabilidades):
Ótimo — a distribuição soma
, como deve ser.
Passo 5
Cálculo da esperança (número médio) e da variância — fórmulas e raciocínio:
- Para uma variável binomial
vale a fórmula conhecida (estas são fórmulas padrão; abaixo explico o porquê em palavras):
Intuição rápida: a esperança é soma das esperanças de
Bernoullis (cada uma tem esperança
), e a variância soma
variâncias
porque os ensaios são independentes.
Aplicando com
,
,
:
Passo 6
Cálculo da probabilidade pedida em (c): “no máximo um demitido” significa
. Usamos soma das probabilidades de
e
:
Também poderia ser obtido como
, o que dá o mesmo resultado.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)