Suponha que A e B são matrizes quadradas de ordem 3 tais que \operatorname{det} A=6 e \operatorname{det} B=2.
(a) Calcule o determinante da matriz P, sendo P=-\sqrt{2}\left(A^{t}\right)^{-1} B^{t} A^{2} B^{-1}.
(b) Suponha que a terceira linha de A e a terceira linha de B são iguais. Suponha que a primeira linha de B é igual à segunda linha de A e que a segunda linha de B é igual à k vezes a primeira linha de A. Determine o valor de k e calcule \operatorname{det}(A+B).
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem 3 com \det A=6 e \det B=2. Na parte (a) pedem \det P para
P=-\sqrt{2}\,(A^t)^{-1}B^tA^2B^{-1}.
Aqui usaremos as propriedades:
\det(cM)=c^n\det M para matriz n\times n.
\det(MN)=\det M\cdot\det N.
\det(M^{-1})=(\det M)^{-1}.
\det(M^t)=\det M.
Passo 2
Calcular \det\bigl((A^t)^{-1}B^tA^2B^{-1}\bigr).
Pelas propriedades: