Suponha que A e B são matrizes quadradas de ordem 3 tais que \operatorname{det} A=6 e \operatorname{det} B=2.
(a) Calcule o determinante da matriz P, sendo P=-\sqrt{2}\left(A^{t}\right)^{-1} B^{t} A^{2} B^{-1}.
(b) Suponha que a terceira linha de A e a terceira linha de B são iguais. Suponha que a primeira linha de B é igual à segunda linha de A e que a segunda linha de B é igual à k vezes a primeira linha de A. Determine o valor de k e calcule \operatorname{det}(A+B).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem 3 com \det A=6 e \det B=2. Na parte (a) pedem \det P para
P=-\sqrt{2}\,(A^t)^{-1}B^tA^2B^{-1}.
Aqui usaremos as propriedades:
  1. \det(cM)=c^n\det M para matriz n\times n.
  2. \det(MN)=\det M\cdot\det N.
  3. \det(M^{-1})=(\det M)^{-1}.
  4. \det(M^t)=\det M.

Passo 2

Calcular \det\bigl((A^t)^{-1}B^tA^2B^{-1}\bigr).
Pelas propriedades:
\det\bigl((A^t)^{-1}\bigr) =(\det A^t)^{-1} =(\det A)^{-1} =\tfrac{1}{6},
\det(B^t)=\det B=2, \quad \det(A^2)=(\det A)^2=6^2=36, \quad \det(B^{-1})=\tfrac1{\det B}=\tfrac12.
Multiplicando:
\det M =\tfrac{1}{6}\times2\times36\times\tfrac12 =\tfrac{36}{6}=6,
onde M=(A^t)^{-1}B^tA^2B^{-1}.

Passo 3

Agora \;P=-\sqrt2\,M com n=3, então
\det P =(-\sqrt2)^3\det M =-\,2^{3/2}\times6 =-12\sqrt2.

Passo 4

Na parte (b), as linhas de A são a_1,a_2,a_3 e de B são b_1,b_2,b_3 com
b_3=a_3,\quad b_1=a_2,\quad b_2=k\,a_1.
Logo
\det B =\det\bigl(\begin{matrix}a_2\k\,a_1\a_3\end{matrix}\bigr) =k\det\bigl(\begin{matrix}a_2\a_1\a_3\end{matrix}\bigr) =k\bigl(-\det A\bigr) =-6k.
Como \det B=2, segue -6k=2 e portanto
k=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Para \det(A+B), somamos linhas:
r_1=a_1+b_1=a_1+a_2,\quad r_2=a_2+b_2=a_2-\tfrac{1}{3}a_1,\quad r_3=a_3+b_3=2a_3.
Fatoramos 2 da terceira linha:
\det(A+B) =2\det\bigl(\begin{matrix}a_1+a_2\a_2-\tfrac13a_1\a_3\end{matrix}\bigr).
Esse determinante é \det(QA), onde
Q=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ -\tfrac13 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
logo \det Q=(1\cdot1-1\cdot(-\tfrac13))\cdot1=\tfrac43.
Assim
\det(A+B) =2\bigl(\tfrac43\det A\bigr) =2\cdot\tfrac43\cdot6 =16.

Resposta

(a) \det P=-12\sqrt2.
(b) k=-\tfrac{1}{3} e \det(A+B)=16.

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